Der Rang einer Matrix sagt Ihnen, wie viele unabhängige Informationen sie tatsächlich enthält – ein Konzept, das zugrunde liegt, ob ein System linearer Gleichungen eine eindeutige Lösung, unendlich viele oder gar keine Lösung hat. Dieser Rechner ermittelt den Rang einer beliebigen Matrix bis zu 5×5 (quadratisch oder rechteckig), indem er sie durch Gaußsche Eliminierung auf Zeilenstufenform reduziert, die gleiche Methode, die in einem Einführungskurs in die lineare Algebra gelehrt wird.
Wie die Zeilenstufenreduktion den Rang verrät
Gaußsche Eliminierung funktioniert Spalte für Spalte. Für jede Spalte wählt der Rechner die Zeile mit dem größten absoluten Wert in dieser Spalte aus (partielle Pivotierung, die die Arithmetik numerisch stabil hält) und tauscht sie bei Bedarf an den Anfang der verbleibenden Zeilen aus. Anschließend subtrahiert es ein Vielfaches dieser Pivot-Zeile von jeder darunter liegenden Zeile und setzt die Einträge unter dem Pivot auf Null. Wenn Sie dies für jede Spalte wiederholen, entsteht eine treppenförmige Zeilenstaffelform.
Sobald die Matrix in Zeilenstaffelform vorliegt, ist der Rang nur die Anzahl der Zeilen, die nicht ganz Null sind. Jede Zeile, die während der Eliminierung vollständig zu Nullen wurde, stellt eine Zeile der ursprünglichen Matrix dar, die eine lineare Kombination der anderen war – sie enthielt keine neuen Informationen.
Eingaben und was sie bedeuten
Wählen Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten unabhängig voneinander (jeweils 1 bis 5) und füllen Sie dann das Raster mit beliebigen reellen Zahlen aus. Die Matrix muss nicht quadratisch sein – rechteckige Matrizen werden vollständig unterstützt und der Rechner begrenzt den maximal möglichen Rang automatisch auf min(Zeilen, Spalten). Verwenden Sie die voreingestellten Schaltflächen, um ein Beispiel mit vollem Rang, ein Beispiel mit Rangmangel mit abhängigen Zeilen, ein nichtquadratisches Beispiel oder die Identitätsmatrix zu laden.
Grenzen und Randfälle
Rank ist immer eine ganze Zahl zwischen 0 (nur für die All-Null-Matrix) und min(Zeilen, Spalten). Gleitkomma-Arithmetik kann winzige Reste ungleich Null (wie 1e-15) hinterlassen, wenn ein Wert genau Null sein sollte – der Rechner behandelt alles, was kleiner als eine kleine Toleranz ist, als Null, sodass diese numerischen Artefakte den Rang nicht erhöhen. Dieser Rechner unterstützt Matrizen bis zu 5×5; Verwenden Sie für die vollständige Matrixinversion den speziellen Matrix-Inversrechner und zum Lösen eines linearen Gleichungssystems direkt den Gleichungssystem-Rechner.