Bei der Matrixmultiplikation werden zwei Matrizen mithilfe zeilenweiser Punktprodukte zu einer neuen Matrize kombiniert, nicht einfach durch Multiplikation von Eintrag zu Eintrag. Dieser Rechner berechnet A×B für Matrizen bis zu 4×4, zeigt die vollständige Skalarproduktentwicklung für jede Zelle des Ergebnisses an und überprüft die Dimensionsregel, die entscheidet, ob die Multiplikation überhaupt möglich ist.
So funktioniert die zeilenweise Multiplikation
Bei der Matrixmultiplikation werden Matrizen nicht Eintrag für Eintrag multipliziert, wie es bei der Addition der Fall ist. Stattdessen stammt jeder Eintrag des Produkts C aus einem Skalarprodukt: Um C[i][j] zu finden, geht der Rechner gleichzeitig die Zeile i der Matrix A und die Spalte j der Matrix B entlang, multipliziert passende Zahlenpaare und addiert die Ergebnisse. Für eine 2×3-Matrix A und eine 3×2-Matrix B ist jeder Eintrag von C die Summe von drei Produkten, eines für jeden gemeinsamen Index.
Auf der Registerkarte „Schritte“ wird diese Erweiterung für jede Zelle im Produkt aufgeführt, also C[1][1] = A[1][1]·B[1][1] + A[1][2]·B[2][1] + A[1][3]·B[3][1], wobei die laufende Summe unten angezeigt wird Ende der Linie. Da die Anzahl der Terme in jedem Skalarprodukt immer der gemeinsamen inneren Dimension entspricht – den Spalten von A, die mit den Zeilen von B übereinstimmen müssen – fügen größere Matrizen einfach mehr Terme pro Zelle hinzu, anstatt die zugrunde liegende Methode zu ändern. Das manuelle Durcharbeiten einer Zeile neben der Registerkarte „Schritte“ ist der schnellste Weg, um ein Verständnis für die Formel zu entwickeln.
Lesen der Dimensionsregel
Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten übereinstimmt – wenn A m×n und B n×p ist, existiert A×B nur dann und das Ergebnis ist immer m×p. Dieser Rechner hält Matrix A und Matrix B auf völlig unabhängigen Größenselektoren präzise, sodass Sie beide Seiten dieser Regel erkunden können: Wählen Sie kompatible Größen aus, und das Produkt erscheint sofort, oder wählen Sie inkompatible Größen aus, und die Registerkarte „Dimensionsprüfung“ erklärt genau, warum die Multiplikation fehlschlägt.
Die Regel kann man sich leicht fälschen, da „die Matrizen die gleiche Größe haben müssen“, aber das gilt nur für quadratische Matrizen gleicher Dimension; Im Allgemeinen können A×B und B×A völlig unterschiedliche Formen haben, oder es kann eine existieren, während die andere nicht existiert. Wenn Sie die Aktualisierung des ✓/✗-Indikators live beobachten, während Sie die Zeilen- oder Spaltenanzahl der Matrix ändern, können Sie schnell erkennen, welche Dimensionspaare tatsächlich funktionieren.
Grenzen und Randfälle
Dieser Rechner unterstützt Matrizen bis zu 4×4 auf jeder Seite, wodurch die überwiegende Mehrheit der handgearbeiteten und Hausaufgaben-Probleme abgedeckt werden und gleichzeitig jeder Skalarproduktschritt auf dem Bildschirm lesbar bleibt. Die Multiplikation ist nicht kommutativ – das Vertauschen der Reihenfolge zur Berechnung von B×A kann zu einer völlig anderen Matrix führen oder ist möglicherweise nicht einmal definiert, wenn die Dimensionen nicht mehr übereinstimmen – daher berechnet der Rechner A×B immer in der Reihenfolge, in der die Matrizen eingegeben werden, niemals umgekehrt.
Beim Multiplizieren einer beliebigen Matrix mit einer kompatiblen Identitätsmatrix bleibt diese unverändert (A×I = A). Dies ist eine nützliche Plausibilitätsprüfung, die direkt über den voreingestellten Streifen verfügbar ist. Für Operationen, die über die Multiplikation hinausgehen – Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation, Transponierung, Determinante, Umkehrung oder Lösung von Gleichungssystemen – verarbeitet der Allzweck-Matrixrechner alle diese in einem Tool, während die speziellen Matrixdeterminanten- und Matrixinversrechner tiefere Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselungen für diese beiden spezifischen Operationen bieten.