Das Skalarprodukt ist eine der nützlichsten Operationen in der Vektoralgebra: Es wandelt zwei Vektoren in eine einzige Zahl um, die angibt, wie sehr sie in die gleiche Richtung zeigen. Dieser Rechner berechnet a · b für 2D- oder 3D-Vektoren, wandelt das Ergebnis in den Winkel zwischen den Vektoren um und markiert, wenn die Vektoren orthogonal sind.

So funktioniert der Skalarproduktrechner

Bei zwei Vektoren a und b derselben Dimension summiert der Rechner die Produkte ihrer übereinstimmenden Komponenten: a · b = axbx + ayby (2D) oder axbx + ayby + azbz (3D). Anschließend berechnet es die Größe jedes Vektors (|a| und |b|) und verwendet die Identität a · b = |a||b|cos θ, um nach dem Winkel θ = arccos((a · b) / (|a||b|)) aufzulösen. Schließlich prüft es, ob a · b gleich Null ist (innerhalb der Gleitkommatoleranz), um Orthogonalität zu melden.

Eingaben und was sie bedeuten

Wählen Sie 2D oder 3D aus der Dimensionsauswahl aus und geben Sie dann die x-, y- (und z-Komponenten für 3D) von Vektor a und Vektor b ein. Komponenten können positiv, negativ, null oder dezimal sein. Es erfolgt keine Einheitenumrechnung – das Ergebnis wird in den gleichen Einheiten wie Ihre Eingaben angezeigt (z. B. wenn Ihre Komponenten in Metern angegeben sind, sind das Skalarprodukt und die Größen in meterbasierten Einheiten und der Winkel wird immer in Grad angegeben). Das Vorzeichen des Skalarprodukts ist an sich schon informativ: Positiv bedeutet, dass die Vektoren im Allgemeinen in die gleiche Richtung zeigen (Winkel unter 90°), negativ bedeutet, dass sie im Allgemeinen in entgegengesetzte Richtungen zeigen (Winkel über 90°) und Null bedeutet, dass sie genau senkrecht stehen.

Grenzen und Randfälle

Der Winkel zwischen Vektoren ist undefiniert, wenn einer der Vektoren die Größe Null hat – es gibt keine Richtung, die von einem Nullvektor aus gemessen werden kann, daher wird in diesem Fall auf den Registerkarten „Winkel zwischen“ und „Orthogonale Prüfung“ eine Meldung anstelle einer Zahl angezeigt. Dieser Rechner verarbeitet 2D- und 3D-Vektoren; Für höherdimensionale (nD) Skalarprodukte gilt die gleiche Σaᵢbᵢ-Formel, nur erweitert um weitere Terme – Sie können diese von Hand oder mit einem allgemeinen Mathematikwerkzeug berechnen. Gleitkomma-Rundung bedeutet, dass bei der Orthogonalitätsprüfung eine kleine numerische Toleranz verwendet wird, anstatt dass das Skalarprodukt genau 0 sein muss.