Cofaktor-Erweiterungsrechner – Laplace-Erweiterung

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Schritt für Schritt

So verwenden Sie diesen Rechner

4 Schritte

1

Wählen Sie eine Matrixgröße

Wählen Sie 3×3 oder 4×4 aus der Größenauswahl. Die Größe des Eingaberasters wird entsprechend angepasst und ein Beispiel wird automatisch geladen, sodass Sie die Methode sofort in Aktion sehen können.

2

Geben Sie Ihre Matrixwerte ein

Klicken Sie auf eine beliebige Zelle in Matrix A und geben Sie eine Zahl ein. Die Determinante, Nebenfaktoren, Cofaktoren und Erweiterungsschritte werden alle sofort aktualisiert, während Sie sie bearbeiten – es gibt keine Schaltfläche „Berechnen“, die Sie drücken müssen.

3

Wählen Sie eine Zeile oder Spalte zum Erweitern aus

Verwenden Sie den Selektor „Entlang erweitern“, um eine beliebige Zeile oder Spalte auszuwählen. Die Determinante kommt immer gleich heraus, egal welche Sie wählen – wenn Sie die Eins mit den meisten Nullen wählen, wird die Arithmetik nur kürzer.

4

Lesen Sie die Nebenschritte, Cofaktoren und Schritte

Auf der Registerkarte „Minors & Cofactors“ werden das Schachbrett-Vorzeichenmuster sowie jede Minor-Matrix und ihre Determinante für die von Ihnen ausgewählte Zeile oder Spalte angezeigt. Auf der Registerkarte „Erweiterungsschritte“ wird die vollständige ersetzte Gleichung von der Formel bis zur endgültigen Lösung angezeigt.

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Grundlagen

Formel und Methodik

2 Formeln

Laplace-Erweiterung (Cofaktor).

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ

Um entlang der Zeile i zu expandieren, summieren Sie über jede Spalte j: Multiplizieren Sie jeden Eintrag A[i][j] mit seinem Cofaktor, der die vorzeichenbehaftete Determinante der Nebenmatrix Mᵢⱼ ist – der (n−1)×(n−1)-Matrix, die nach dem Löschen von Zeile i und Spalte j übrig bleibt. Das Vorzeichen wechselt in einem Schachbrettmuster, (−1)^(i+j). Das Erweitern entlang einer Spalte funktioniert stattdessen auf die gleiche Weise und summiert über Zeilen i für eine feste Spalte j. Das Ergebnis ist identisch, egal welche Zeile oder Spalte ausgewählt wird.

4×4-Rekursion

4×4-Minor → weiterentwickeln bis zum 2×2-Basisfall

Bei einer 4×4-Matrix ist jedes Minor selbst eine 3×3-Matrix. Dieser Rechner berechnet die Determinante dieses 3×3-Molls direkt (intern rekursiv bis zum 2×2-Basisfall ad − bc), sodass eine 4×4-Erweiterung immer in vier vollständig ausgearbeitete 3×3-Molls aufgelöst wird.

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Glossar

Wichtige Begriffe erklärt

7 Begriffe

Die vorzeichenbehaftete Nebendeterminante in einer bestimmten Zeile und Spalte: Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ. Das Zeichen wechselt in einem Schachbrettmuster ab, beginnend mit + oben links.

Die Determinante der kleineren Matrix, die nach dem Löschen einer Zeile und einer Spalte aus der ursprünglichen Matrix übrig bleibt. Ein Nebenfaktor einer 3×3-Matrix ist eine 2×2-Determinante; ein Minor einer 4×4-Matrix ist eine 3×3-Determinante.

Ein anderer Name für die Kofaktorerweiterung – die Methode zur Berechnung einer Determinante durch Summieren vorzeichenbehafteter Produkte von Einträgen und ihren Kofaktoren entlang einer einzelnen Zeile oder Spalte.

Das alternierende +/−-Muster von (−1)^(i+j) über jede Zelle einer Matrix, beginnend mit + in der oberen linken Ecke. Es bestimmt, ob jeder Term in der Erweiterung addiert oder subtrahiert wird.

Eine einzelne Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird und Eigenschaften wie Invertierbarkeit und Volumenskalierung kodiert. Die Kofaktorerweiterung ist eine allgemeine Methode zur Berechnung.

Die als Grundlage für die Erweiterung ausgewählte Zeile oder Spalte. Jede Zeile oder Spalte ergibt die gleiche endgültige Determinante. Wenn Sie eine Zeile oder Spalte mit mehr Nulleinträgen wählen, verringert sich die Anzahl der zu berechnenden Nebenwerte.

Die Matrix wird gebildet, indem jeder Eintrag durch seinen eigenen Cofaktor ersetzt wird. Dies ist ein Zwischenschritt, der von anderen Methoden (wie der Adjugat-/Umkehrformel) verwendet wird, aber dieser Rechner berechnet nur die Cofaktoren, die für die von Ihnen ausgewählte Zeile oder Spalte benötigt werden.

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Beispiele

Beispiele aus der Praxis

3 Praxisbeispiele

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3×3 entlang Reihe 1 erweitert

A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Matrix A [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] Erweitern Sie sich Reihe 1

Erweitern entlang Zeile 1: det(A) = 1·M₁₁ − 2·M₁₂ + 3·M₁₃ = 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = 1·(−24) − 2·(−20) + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1. Ein klassisches Lehrbuchbeispiel – det(A) = 1, egal entlang welcher Zeile oder Spalte Sie expandieren.

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4×4 entlang einer nulllastigen Reihe

A = [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]]

Matrix A [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]] Erweitern Sie sich Reihe 2

Zeile 2 hat drei Nulleinträge, sodass drei der vier Cofaktorterme automatisch verschwinden – nur für die einzelne 5 in dieser Zeile muss der 3×3-Nebenfaktor berechnet werden. Das ist der Effizienzgewinn bei der Wahl der Zeile oder Spalte mit der höchsten Nullzahl: die gleiche Determinante mit weitaus weniger arithmetischen Aufwand als bei der Erweiterung entlang einer Zeile voller Zahlen ungleich Null.

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Lesen des Schachbrettzeichenmusters

Jede n×n-Matrix

Position (1,1) + Position (1,2) −

Jede Position (i, j) erhält ein Vorzeichen von (−1)^(i+j): +, wenn die Summe der Zeilen- und Spaltenindizes eine gerade Zahl ergibt, −, wenn sie sich zu einer ungeraden Zahl summieren. Über jede Zeile (oder jede Spalte hinweg) wechseln sich die Vorzeichen immer ab +, −, +, −, weshalb es Schachbrettmuster genannt wird. Die Registerkarte „Minors & Cofactors“ zeichnet dieses vollständige Raster und hebt die Zeile oder Spalte hervor, die gerade erweitert wird.

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Quellenangabe

Diesen Rechner zitieren

APA und MLA

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Hintergrundwissen

Den Cofaktor-Erweiterungsrechner verstehen

4 Kapitel · 4 Min. Lesezeit

Die Cofaktor-(Laplace-)Erweiterung ist die allgemeine Methode zur manuellen Berechnung einer Matrixdeterminante: Wählen Sie eine beliebige Zeile oder Spalte aus, multiplizieren Sie jeden Eintrag mit seiner vorzeichenbehafteten Nebendeterminante und addieren Sie die Ergebnisse. Mit diesem Rechner können Sie diese Zeile oder Spalte selbst für eine 3×3- oder 4×4-Matrix auswählen und zeigt dann jeden Nebenfaktor, jeden Cofaktor und die vollständig ersetzte Gleichung an – die gleichen Arbeitsschritte, die Sie in einem linearen Algebra-Kurs aufschreiben würden.

Wie die Cofaktor-Erweiterung funktioniert

Wählen Sie eine Zeile (oder Spalte) aus, entlang derer erweitert werden soll. Löschen Sie für jeden Eintrag in dieser Zeile die entsprechende Zeile und Spalte aus der Matrix, um eine kleinere „Minor“-Matrix zu erhalten, und nehmen Sie dann die Determinante dieses Minors. Multiplizieren Sie den Eintrag mit der Determinante seines Nebenzeichens und mit einem Wechselzeichen (+, −, +, − in einem Schachbrettmuster basierend auf der Position) und addieren Sie dann alle diese vorzeichenbehafteten Produkte. Das Ergebnis ist die Determinante der gesamten Matrix – und das Ergebnis ist identisch, egal welche Zeile oder Spalte Sie auswählen.

Bei einer 4×4-Matrix ist jede Nebenmatrix selbst eine 3×3-Matrix, sodass der Rechner diese kleinere Determinante direkt berechnet, bevor er sie zur Summe der obersten Ebene kombiniert. Auf der Registerkarte „Erweiterungsschritte“ werden die Formel, die ersetzten Zahlen und die laufende Summe angezeigt, die zusammen die endgültige Lösung ergeben.

Eingaben und was sie bedeuten

Wählen Sie eine Matrixgröße (3×3 oder 4×4), füllen Sie das Raster mit beliebigen reellen Zahlen und wählen Sie dann eine Zeile oder Spalte aus der Auswahl „Entlang erweitern“ aus. Es ist keine Einheitenumrechnung erforderlich – der Rechner verarbeitet die Zahlen genau so, wie sie eingegeben wurden. Verwenden Sie die voreingestellten Schaltflächen, um die Identitätsmatrix, ein ausgearbeitetes Beispiel oder ein leeres Raster zu laden, um von vorne zu beginnen.

Warum die Wahl der Zeile oder Spalte wichtig ist (und warum nicht)

Mathematisch gesehen ergibt jede Zeile und Spalte genau die gleiche Determinante – das ist eine Kerneigenschaft der Cofaktor-Erweiterung. In der Praxis lassen sich einige Auswahlmöglichkeiten jedoch viel schneller von Hand berechnen: Eine Zeile oder Spalte mit mehr Nulleinträgen bedeutet, dass mehr Kofaktorterme automatisch verschwinden, da alles, was mit Null multipliziert wird, nichts zur Summe beiträgt. Versuchen Sie, den Expand Along-Selektor zwischen einer Zeile mit vielen Nullen und einer Zeile voller Zahlen ungleich Null umzuschalten, um zu sehen, wie die Arithmetik kleiner wird.

Grenzen und Randfälle

Dieser Rechner unterstützt nur 3×3- und 4×4-Matrizen. Informationen zu einer Determinante, die mit einer festen Methode plus einer singulären/umkehrbaren Prüfung berechnet wird, finden Sie im Matrix-Determinantenrechner; für die Umkehrung über die Adjugat-Methode (Cofaktor-Matrix) siehe den Matrix-Inversen-Rechner; Für größere Matrizen oder Gauß-Jordan-Zeilenreduktion verwenden Sie den allgemeinen Matrixrechner.

❓

Fragen

Häufig gestellte Fragen

6 Fragen

Wie lautet die Cofaktor-Erweiterungsformel?+

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ, wobei die Summe über die Einträge einer ausgewählten Zeile i (oder symmetrisch über eine ausgewählte Spalte j) läuft und Mᵢⱼ die Determinante des nach dem Löschen dieser Zeile und Spalte verbleibenden Minor ist.

Was ist ein Minderjähriger?+

Ein kleines Mᵢⱼ ist die Determinante der kleineren Matrix, die nach dem Löschen von Zeile i und Spalte j aus der ursprünglichen Matrix übrig bleibt. Bei einer 3×3-Matrix ist jedes Minor eine 2×2-Determinante; Bei einer 4×4-Matrix ist jedes Minor eine 3×3-Determinante.

Was bestimmt das +/− Vorzeichenmuster?+

Das Vorzeichen ist (−1)^(i+j), wodurch ein Schachbrettmuster entsteht: +, wenn die Summe der Zeilen- und Spaltenindizes eine gerade Zahl ergibt, −, wenn sie sich zu einer ungeraden Zahl summieren. Das Muster beginnt immer mit + in der oberen linken Ecke.

Welche Zeile oder Spalte eignet sich am besten zum Erweitern?+

Jede Zeile oder Spalte ergibt die gleiche endgültige Determinante, aber diejenige mit den meisten Nulleinträgen erfordert die geringste Arithmetik – jeder Nulleintrag lässt seinen gesamten Term verschwinden, ohne dass dafür ein Minor berechnet werden muss.

Erhalte ich die gleiche Determinante, egal welche Zeile oder Spalte ich wähle?+

Ja, immer. Das ist eine grundlegende Eigenschaft der Determinante – die Cofaktor-Erweiterung entlang einer beliebigen Zeile oder Spalte derselben Matrix führt zum identischen numerischen Ergebnis.

Wie funktioniert das für eine 4×4-Matrix?+

Der Minor jedes Eintrags für eine 4×4-Matrix ist eine 3×3-Matrix, daher berechnet der Rechner die Determinante dieses 3×3-Minor (intern rekursiv bis zum 2×2-Basisfall), bevor er die vier Terme der obersten Ebene zur endgültigen 4×4-Determinante kombiniert.

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