Torus-Rechner

Radien

Hauptradius (R)

Kleiner Radius (r)

Einheit

Der Hauptradius (R) ist der Abstand von der Mitte des Torus zur Mitte der Röhre; Der kleinere Radius (r) ist der Radius der Röhre selbst. Für einen normalen (sich nicht selbst überschneidenden) Donut sollte r kleiner als R sein.

Versuchen Sie:

Lautstärke

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Geben Sie oben den großen und kleinen Radius ein, um das Volumen anzuzeigen.

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Oberfläche

Geben Sie oben den großen und kleinen Radius ein, um das Torusvolumen anzuzeigen.

Ausgearbeitete Schritte

3 Min. Lesezeit 3 Schritte 6 Begriffe 3 Beispiele 6 häufig gestellte Fragen V = 2π² · R · r²

Ein Torus hat zwei freie Parameter – den großen Radius R und den kleinen Radius r – und sein Volumen und seine Oberfläche ergeben sich direkt aus beiden über den Schwerpunktsatz von Pappus.

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Schritt für Schritt

So verwenden Sie diesen Rechner

3 Schritte

Geben Sie den großen und kleinen Radius ein

Geben Sie den großen Radius (R) ein – den Abstand vom Mittelpunkt des gesamten Torus zum Mittelpunkt des Rohrs – und den kleinen Radius (r) – den Radius des Rohrs selbst. Wähle eine Einheit; Es handelt sich lediglich um eine Anzeigebezeichnung, da die Mathematik einheitenunabhängig ist.

Lesen Sie Volumen und Oberfläche ab

Die Registerkarte „Volumen“ führt mit V = 2π²Rr² und zeigt die Oberfläche als unterstützenden Wert; Die Registerkarte „Oberfläche“ dreht das um und führt zu SA = 4π²Rr. Beide werden sofort aktualisiert, wenn Sie R oder r ändern.

Lösen Sie bei Bedarf rückwärts

Wechseln Sie zur Registerkarte „Radien“, um in die andere Richtung zu gehen: Geben Sie ein Zielvolumen oder eine Zieloberfläche plus den Radius ein, den Sie bereits kennen, und der Rechner ermittelt den fehlenden Radius und zeigt die bearbeiteten Schritte an.

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Grundlagen

Formel und Methodik

4 Formeln

Volumen eines Torus

V = 2π² · R · r²

R ist der große Radius (Torusmitte zu Rohrmitte), r ist der kleine Radius (Rohrradius). Das Volumen skaliert mit dem Quadrat des kleineren Radius, sodass eine Verdoppelung der Rohrdicke das Volumen vervierfacht. Einheiten sind kubisch (z. B. Kubikfuß, Kubikzentimeter).

Oberfläche eines Torus

SA = 4π² · R · r

Die Gesamtfläche der Außenfläche des Torus. Die Oberfläche skaliert linear mit beiden Radien, sodass die Verdoppelung eines der beiden Radien auch die Oberfläche verdoppelt. Einheiten sind quadratisch (z. B. Quadratfuß, Quadratzentimeter).

Rückwärts lösen

r = √(V ÷ 2π²R) oder R = V ÷ (2π²r²) oder r = SA ÷ (4π²R) oder R = SA ÷ (4π²r)

Jede Vorwärtsformel kann umgekehrt werden, um bei gegebenem anderen Radius einen fehlenden Radius aus einem Zielvolumen oder einer Zieloberfläche wiederherzustellen. Die Registerkarte „Radien“ dieses Rechners führt die Invertierung durch, die Ihren Eingaben entspricht.

Schwerpunktsatz von Pappus

V = A · d, SA = P · d

Beide Torusformeln sind ein Sonderfall des Pappus-Theorems: Das Überstreichen einer Form (hier eines Kreises mit dem Radius r) um eine Außenachse erzeugt ein Volumen, das der Fläche der Form (A = πr²) mal der Strecke entspricht, die ihr Schwerpunkt in einer Umdrehung zurücklegt (d = 2πR). Die gleiche Logik ergibt die Oberfläche aus dem Umfang des Kreises (P = 2πr).

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Glossar

Wichtige Begriffe erklärt

6 Begriffe

Eine ringförmige dreidimensionale Oberfläche, die durch die Drehung eines Kreises um eine Achse entsteht, die in derselben Ebene wie der Kreis liegt, ihn aber nicht schneidet – der mathematische Name für eine Donutform.

Der Abstand (R) von der Mitte des gesamten Torus zur Rohrmitte – im Wesentlichen der Radius des zentralen Lochs des Donuts plus die halbe Rohrdicke.

Der Radius (r) des Rohrs selbst – wie dick der Donut-Ring ist, gemessen von der Mitte des Rohrquerschnitts bis zu seiner Außenkante.

Der umgangssprachliche Name für einen Torus – eine Ringform mit einem Loch in der Mitte, dessen Volumen und Oberfläche den gleichen Formeln folgen, unabhängig davon, ob Sie ein Gebäck oder eine mathematische Oberfläche beschreiben.

Der Vorgang des Drehens einer zweidimensionalen Form (hier eines Kreises) um 360° um eine Achse, um einen dreidimensionalen Körper zu erzeugen – der Torus wird durch Drehen eines Kreises mit dem Radius r um eine Achse im Abstand R von seinem Mittelpunkt erzeugt.

Der kreisförmige Querschnitt, der, wenn er um die Mittelachse gedreht wird, den Ring des Torus bildet. Der Radius der Röhre ist der kleine Radius (r).

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Beispiele

Beispiele aus der Praxis

3 Praxisbeispiele

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Vorwärtsberechnung

Hauptradius = 5, Nebenradius = 2

Hauptradius 5 ft Kleiner Radius 2 ft

Bei einem Hauptradius von 5 Fuß und einem Nebenradius von 2 Fuß beträgt das Volumen etwa 394,78 Fuß³ und die Oberfläche etwa 394,78 Fuß². Dies ist das Standardbeispiel des Rechners – eine saubere Überprüfung, ob beide Formeln mit den Standardreferenzwerten für R=5, r=2 übereinstimmen.

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Vom Volumen aus rückwärts lösen

Zielvolumen = 394,78, bekannter Hauptradius = 5

Zielmaß Volumen = 394,78 ft³ Bekannter Radius Hauptradius = 5 Fuß

Bei einem Zielvolumen von 394,78 Kubikfuß und einem bekannten Hauptradius von 5 Fuß ergibt die Lösung von r = √(V ÷ 2π²R) einen Nebenradius von etwa 2,00 Fuß – derselbe Torus wie im ersten Beispiel, umgekehrt bearbeitet. Dieses Muster gilt für Probleme wie die Dimensionierung eines ringförmigen Tanks oder einer Dichtung, um die erforderliche Kapazität zu erreichen.

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Donut-Einrahmung aus der realen Welt

Ein Donut mit einer Loch-zu-Loch-Spannweite von 4 Zoll und einem 1 Zoll dicken Ring

Hauptradius 2 in Kleiner Radius 1 in

Für einen ringförmigen Torus mit einem großen Radius von 2 Zoll und einem kleinen Radius von 1 Zoll ergibt sich ein Volumen von etwa 39,48 Zoll³ und eine Oberfläche von etwa 78,96 Zoll². Da r hier nicht kleiner als R ist, befindet sich diese spezielle Form an der Selbstüberschneidungsgrenze – eine Erinnerung daran, dass bei echten Donuts der kleinere Radius immer deutlich kleiner als der große Radius bleibt, um ein eingeklemmtes oder überlappendes Loch zu vermeiden.

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Quellenangabe

Diesen Rechner zitieren

APA und MLA

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Hintergrundwissen

Torusvolumen und -oberfläche und wie sie sich auf einen Donut beziehen

3 Kapitel · 3 Min. Lesezeit

Ein Torus hat zwei freie Parameter – den großen Radius R und den kleinen Radius r – und sein Volumen und seine Oberfläche ergeben sich direkt aus beiden über den Schwerpunktsatz von Pappus. Dieser Rechner verarbeitet die Vorwärtsrichtung (Radien nach innen, Volumen und Oberfläche nach außen) und die Rückwärtsrichtung (ein Zielmaß plus einen bekannten Radius, Lösung für den anderen).

Warum die Formeln wie die Fläche und der Umfang eines Kreises mal 2πR aussehen

Ein Torus wird erzeugt, indem ein Kreis mit dem Radius r um eine Achse im Abstand R vom Kreismittelpunkt gedreht wird. Der Schwerpunktsatz von Pappus besagt, dass das resultierende Volumen gleich der Fläche des Kreises (πr²) mal der Strecke ist, die sein Schwerpunkt in einer vollen Umdrehung zurücklegt (2πR) – was V = πr² × 2πR = 2π²Rr² ergibt. Die Oberfläche funktioniert auf die gleiche Weise unter Verwendung des Umfangs (2πr) des Kreises anstelle seiner Fläche: SA = 2πr × 2πR = 4π²Rr. Bei beiden Formeln handelt es sich eigentlich nur um „Formmaß mal Sweep-Entfernung“.

Die Selbstschnittgrenze: wenn r ≥ R

Ein normaler Donut-förmiger Torus erfordert, dass der kleine Radius kleiner ist als der große Radius (r < R) – andernfalls müsste das Rohr durch die Mittelachse verlaufen und einen eingeklemmten „Horn-Torus“ (r = R) oder einen sich selbst schneidenden „Spindel-Torus“ (r > R) anstelle eines normalen Rings erzeugen. Die Volumen- und Oberflächenformeln berechnen in beiden Fällen immer noch eine Zahl, aber die Form, die sie beschreiben, ist kein einfacher Donut mehr, daher markiert dieser Rechner die Bedingung, wenn sie auftritt.

Wenn Sie rückwärts lösen müssen

Bei den meisten Lehrbuchaufgaben werden sowohl Radien angegeben als auch das Volumen oder die Oberfläche abgefragt. Probleme in der realen Welt laufen oft andersherum: Sie wissen, dass ein ringförmiges Teil ein bestimmtes Volumen aufnehmen muss, oder Sie wissen, wie viel Material seine Oberfläche bedeckt, und Sie müssen die fehlende Dimension finden. Rückwärts zu lösen bedeutet, die Vorwärtsformel für jeden unbekannten Radius umzukehren – die Registerkarte „Radien“ dieses Rechners erledigt dies automatisch, basierend auf dem Maß und dem bekannten Radius, den Sie auswählen.

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Fragen

Häufig gestellte Fragen

6 Fragen

Wie lautet die Volumenformel für einen Torus?+

V = 2π²Rr², wobei R der Hauptradius (Rohrmitte bis Torusmitte) und r der Nebenradius (Rohrradius) ist. Für R = 5 und r = 2 sind das etwa 394,78 Kubikeinheiten.

Wie lautet die Oberflächenformel für einen Torus?+

SA = 4π²Rr, unter Verwendung des gleichen großen Radius R und kleinen Radius r. Für R = 5 und r = 2 sind das etwa 394,78 Quadrateinheiten – zufälligerweise gleich dem Volumen in diesem speziellen Beispiel.

Was ist der Unterschied zwischen großem und kleinem Radius?+

Der Hauptradius (R) ist der Abstand vom Mittelpunkt des gesamten Torus zum Mittelpunkt des Rohrs. Der kleine Radius (r) ist der Radius des Rohrs selbst – wie dick der Donut-Ring ist. R misst die Größe des Rings; r misst die Dicke des Materials, aus dem es besteht.

Ist ein Torus dasselbe wie ein Donut?+

Ja – ein Torus ist der mathematische Name für eine Donutform: ein Ring, der durch die Drehung eines Kreises mit dem Radius r um eine Achse im Abstand R vom Mittelpunkt des Kreises gebildet wird, solange r kleiner als R bleibt.

Welche Einheiten verwendet der Rechner?+

Sowohl der große als auch der kleine Radius verwenden die von Ihnen ausgewählte lineare Einheit (Zoll, Fuß, Yard, Zentimeter oder Meter). Für das Volumen wird automatisch die Kubikeinheit verwendet, für die Oberfläche automatisch die Quadrateinheit.

In welcher Beziehung steht der Satz von Pappus zu diesen Formeln?+

Beide Formeln sind eine direkte Anwendung des Schwerpunktsatzes von Pappus: Das Drehen eines Kreises mit der Fläche πr² und dem Umfang 2πr um eine Außenachse im Abstand R überstreicht ein Volumen von (πr²)(2πR) = 2π²Rr² und eine Oberfläche von (2πr)(2πR) = 4π²Rr.

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