Die Abschnittsformel beantwortet eine einfache Frage zur Koordinatengeometrie: Welche Koordinate hat bei zwei gegebenen Punkten die Koordinate des Punktes, der das Segment in einem gewählten Verhältnis zwischen ihnen aufteilt? Es verallgemeinert die Mittelpunktformel auf jedes beliebige Verhältnis und ist in zwei Varianten erhältlich – interne und externe Division.
So funktioniert die Abschnittsformel
Für ein Segment von A(x₁, y₁) nach B(x₂, y₂) ist der Punkt P, der AB intern im Verhältnis m:n teilt (gemessen von A in Richtung B), P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)). Dies ist ein gewichteter Durchschnitt der beiden Endpunkte – ein größeres n zieht den Punkt in Richtung A, ein größeres m zieht ihn in Richtung B. Die Einstellung m = n = 1 ergibt gleiche Gewichtungen und reduziert sich genau auf die Mittelpunktformel ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
Interne vs. externe Aufteilung
Die interne Division platziert den Punkt irgendwo zwischen A und B. Die externe Division platziert ihn außerhalb des Segments auf der Linie, die über einen der Endpunkte hinausgeht, und verwendet eine Subtraktion anstelle einer Addition in der Formel: P = ((mx₂−nx₁)/(m−n), (my₂−ny₁)/(m−n)). Die äußere Division ist immer dann undefiniert, wenn m gleich n ist, da der Nenner Null wird – geometrisch gesehen würde ein gleiches äußeres Verhältnis den Punkt unendlich weit weg platzieren.
Wo die Abschnittsformel verwendet wird
Die Abschnittsformel taucht in der gesamten Geometrie und Physik auf: beim Finden des Schwerpunkts eines Dreiecks (der jeden Median 2:1 teilt), beim Lokalisieren eines Punktes an einem bestimmten Bruchteil entlang einer Straße oder einem Kabel auf einer Karte, beim Berechnen gewichteter Massenschwerpunkte und in der Computergrafik zum Interpolieren eines Punktes entlang einer Linie. Es ist eine der Grundformeln, die auf den Abstands- und Mittelpunktformeln in der Koordinatengeometrie aufbaut.