Ein pythagoräisches Tripel ist eine Menge von drei ganzen Zahlen, die genau dem Satz des Pythagoras entsprechen – keine Rundung, keine Dezimalstellen. Dieser Rechner generiert sie aus der Formel von Euklid, prüft, ob die Zahlen, die Sie bereits haben, eins bilden, und listet jedes Tripel auf, das eine bestimmte Seite enthält, wobei er dieselbe Beziehung verwendet, die seit der Antike die Geometrie des rechtwinkligen Dreiecks verankert hat.
Warum (3, 4, 5) etwas Besonderes ist
(3, 4, 5) ist das kleinste pythagoräische Tripel und das einzige, das aus drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen besteht. Weil 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², hat ein Dreieck mit diesen Seitenlängen immer einen perfekten 90°-Winkel – weshalb Bauherren seit Tausenden von Jahren Seile und Maßbänder 3-4-5 (und ihre Vielfachen wie 6-8-10) für rechtwinklige Ecken verwendet haben, lange bevor irgendjemand die Algebra dahinter niedergeschrieben hat.
Jedes Vielfache von (3, 4, 5) – (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) usw. für immer – ist ebenfalls ein gültiges Tripel, da bei der Skalierung jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks um denselben Faktor alle seine Winkel erhalten bleiben.
Euklids Formel erzeugt sie alle
Euklid bewies, dass jedes primitive pythagoreische Tripel aus einem Paar ganzer Zahlen m und n (mit m > n > 0, teilerfremd und entgegengesetzter Parität) über a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² erzeugt werden kann. Das Einsetzen von m = 2, n = 1 ergibt (3, 4, 5); m = 3, n = 2 ergibt (5, 12, 13); m = 4, n = 1 ergibt (8, 15, 17). Jedes nicht-primitive Tripel ist dann nur ein ganzzahliges Vielfaches von einem dieser Tripel.
Das ist mehr als eine Kuriosität – es bedeutet, dass die unendliche Menge der pythagoreischen Tripel eine vollständige, endliche Beschreibung hat: Wählen Sie ein beliebiges gültiges (m, n)-Paar für die primitiven Tripel und skalieren Sie dann für den Rest mit einer beliebigen positiven ganzen Zahl.
Primitiv vs. nicht-primitiv und wie man sie unterscheidet
Ein Tripel ist primitiv, wenn ggT(a, b, c) = 1 – die drei Zahlen haben keinen gemeinsamen Faktor. (5, 12, 13) ist primitiv; (10, 24, 26) ist nicht der Fall, da die Division jedes Termes durch 2 (5, 12, 13) ergibt. Um zu überprüfen, ob ein von Ihnen gefundenes Tripel primitiv ist, ermitteln Sie den größten gemeinsamen Teiler aller drei Zahlen: Wenn er 1 ist, haben Sie ein primitives Tripel; Wenn k > 1 ist, zeigt die Division durch k das darunter liegende primitive Tripel an.
Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn jedes Tripel aufgelistet wird, das eine bestimmte Seite enthält: Die vollständige Liste teilt sich immer in eine Handvoll primitiver Tripel plus ihre skalierten Vielfachen auf, und die Registerkarte „Nach Seite auflisten“ dieses Rechners beschriftet jedes Ergebnis entsprechend.