Berechnen Sie das Volumen, die Oberfläche und die Neigungshöhe einer quadratischen oder rechteckigen Pyramide anhand ihrer Grundfläche und Höhe.
Eingaben
Eingabeformat und Grenzen
Verwenden Sie endliche Werte mit Betrag höchstens 1e50. Ausdrücke unterstützen pi, sqrt(), Brüche und Arithmetik. Winkel sind auf 1e12 Grad begrenzt. Die Einheiten sind mathematisch; Geometrie allein belegt keine physische Sicherheit.
Beträge ungleich null unter 1e-50 liegen außerhalb dieses Gleitkomma-Arbeitsbereichs.
Aktuelles Ergebnis
Koordinatentabelle zum Diagramm
3 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenV = ⅓ × Grundfläche × h
Eine gerade quadratische oder rechteckige Pyramide wird vollständig durch ihre Grundabmessungen und ihre senkrechte Höhe definiert.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Berechnungsmodus
Eingaben: Richtig rechteckig Pyramide; Richtig Quadrat Pyramide; Lautstärke zu Höhe.
2
Aktuelles Ergebnis
Verwenden Sie endliche Werte mit Betrag höchstens 1e50. Ausdrücke unterstützen pi, sqrt(), Brüche und Arithmetik. Winkel sind auf 1e12 Grad begrenzt. Die Einheiten sind mathematisch; Geometrie allein belegt keine physische Sicherheit.
Das Volumen einer geraden Pyramide beträgt ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Bei einer quadratischen oder rechteckigen Grundfläche gilt: Grundfläche = Länge × Breite.
Schräge Höhe
l = √(h² + a²)
Jedes Paar dreieckiger Flächen hat seine eigene Neigungshöhe – den Abstand vom Mittelpunkt einer Basiskante, gerade die Fläche hinauf, bis zur Spitze. Sie wird über den Satz des Pythagoras mithilfe der senkrechten Höhe h und des Apothems a (der halben Länge der gegenüberliegenden Basisdimension) ermittelt.
Seitenfläche
Slateral = l·sqrt(h²+(w/2)²) + w·sqrt(h²+(l/2)²)
Für Grundlänge l, Breite w und senkrechte Höhe h verwenden die Flächen am l-Rand sl = sqrt(h²+(w/2)²), jene am w-Rand sw = sqrt(h²+(l/2)²). Multiplizieren Sie jede Schräghöhe mit ihrer zugehörigen Grundkante.
Gesamtfläche
Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche
Die Gesamtoberfläche addiert die flache Grundfläche zur seitlichen Fläche (dreieckige Fläche), um die gesamte Außenfläche der Pyramide abzudecken.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
PyramideEine dreidimensionale Form mit einer polygonalen Grundfläche – hier quadratisch oder rechteckig –, die sich zu einem einzigen Punkt hin verjüngt, der als Spitze bezeichnet wird. Dieser Rechner geht von einer geraden Pyramide aus, bei der die Spitze direkt über der Mitte der Basis liegt.
SpitzeDer einzelne Punkt an der Spitze der Pyramide, an dem sich alle vier Dreiecksflächen treffen. Bei einer geraden Pyramide sitzt es direkt über der Mitte der Basis.
Schräge HöheDer Abstand vom Mittelpunkt einer Basiskante entlang einer dreieckigen Fläche bis zur Spitze – nicht dasselbe wie die vertikale Höhe. Eine rechteckige Basis hat zwei unterschiedliche schräge Höhen, eine pro Paar gegenüberliegender Flächen; eine quadratische Basis hat nur eine.
Seitliches GesichtEine der dreieckigen Seitenflächen verbindet eine Basiskante mit der Spitze. Eine quadratische oder rechteckige Pyramide hat vier Seitenflächen.
GrundflächeDie Fläche des flachen Polygons am unteren Ende der Pyramide. Bei einer quadratischen oder rechteckigen Grundfläche gilt: Grundfläche = Länge × Breite.
LautstärkeDie Menge des von der Pyramide umschlossenen dreidimensionalen Raums, gemessen in Kubikeinheiten (in³, ft³, cm³ oder m³). Berechnet als V = ⅓ × Grundfläche × Höhe.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Quadratische Pyramide
6×6 Sockel, Höhe 8
Basislänge 6 inBasisbreite 6 inHöhe (h) 8 in
Grundfläche = 6 × 6 = 36 Zoll². Volumen = ⅓ × 36 × 8 = 96 in³. Da die Grundfläche quadratisch ist, sind beide Schräghöhen gleich: Apothem = 3, also l = √(8² + 3²) = √73 ≈ 8,54 Zoll. Seitenfläche = 4 Flächen × (½ × 6 × 8,54) ≈ 102,53 Zoll². Gesamtfläche = 36 + 102,53 ≈ 138,53 Zoll².
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Rechteckige Pyramide
10×6 Sockel, Höhe 12
Basislänge 10 ftBasisbreite 6 ftHöhe (h) 12 ft
l = 10 ft, w = 6 ft, h = 12 ft; sl = √153 ft, sw = 13 ft. Slateral = 10√153 + 78 ≈ 201.6932 ft²; Stotal = 60 + 10√153 + 78 ≈ 261.6932 ft². V = 240 ft³. Für Grundlänge l, Breite w und senkrechte Höhe h verwenden die Flächen am l-Rand sl = sqrt(h²+(w/2)²), jene am w-Rand sw = sqrt(h²+(l/2)²). Multiplizieren Sie jede Schräghöhe mit ihrer zugehörigen Grundkante.
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Auflösen nach Höhe
Bekanntes Band 96, bekannte 6×6-Basis
Volumen (V) 96Basislänge 6Basisbreite 6
Unter Verwendung von h = 3V / (Länge × Breite) = 3(96) / (6 × 6) = 288 / 36 = 8 wird die ursprüngliche Höhe aus dem obigen Beispiel einer quadratischen Pyramide wiederhergestellt und bestätigt, dass die beiden Formeln exakte Umkehrungen voneinander sind.
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Quellenangabe
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APA und MLA▸
Verwenden Sie eines dieser Formate, um diesen Rechner in einer Arbeit, einem Bericht oder einer Literaturliste zu zitieren.
Eine gerade quadratische oder rechteckige Pyramide wird vollständig durch ihre Grundabmessungen und ihre senkrechte Höhe definiert. Allein aus diesen Werten können Sie die Grundfläche, die Neigungshöhe jeder Fläche, die Seiten- und Gesamtoberfläche sowie das Volumen ableiten. Dieser Rechner erledigt diese Berechnungen sofort und zeigt, wie jeder Wert von den anderen abhängt.
So funktioniert der Pyramidenrechner
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Der Rechner geht von der Volumenformel V = ⅓ × Grundfläche × h aus, die besagt, dass eine Pyramide genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe enthält. Die Grundfläche ist einfach Länge × Breite. Da eine rechteckige Grundfläche nicht symmetrisch ist, liegen die vier dreieckigen Seitenflächen in zwei passenden Paaren vor, jede mit ihrer eigenen Schräghöhe – ermittelt mit dem Satz des Pythagoras aus der senkrechten Höhe und dem Apothem (die Hälfte der gegenüberliegenden Grundabmessung). Die Addition aller vier Dreiecksflächen ergibt die Mantelfläche; Die Addition der Grundfläche ergibt die Gesamtoberfläche.
Eingaben und was sie bedeuten
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Wählen Sie „Quadratische Basis“, um eine einzelne Länge einzugeben (die Breite spiegelt diese automatisch wider), oder „Rechteckige Basis“, um Länge und Breite unabhängig voneinander einzugeben. Geben Sie dann die Höhe (h) ein – den geraden vertikalen Abstand von der Mitte der Basis bis zur Spitze, nicht die Schräghöhe. Alle drei Eingaben müssen positive Zahlen in derselben Einheit sein; Der Rechner rechnet nicht zwischen Einheiten um. Wählen Sie daher zunächst Zoll, Fuß, Zentimeter oder Meter aus und verwenden Sie diese konsequent.
Grenzen und Randfälle
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Dieser Rechner geht von einer geraden Pyramide mit rechteckiger (oder quadratischer) Grundfläche aus – die Spitze liegt direkt über der Mitte der Grundfläche. Eine schräge Pyramide, bei der die Spitze außermittig ist, hat unterschiedliche (komplexere) Neigungshöhen, obwohl die Volumenformel V = ⅓ × Grundfläche × h immer noch gilt, solange h die senkrechte Höhe ist. Verwenden Sie für eine dreieckige oder andere vieleckige Grundfläche oder für einen Kegelstumpf (eine Pyramide mit abgeschnittener Spitze) stattdessen einen speziellen Rechner für diese Form – dieses Werkzeug geht von einer vierseitigen Grundfläche aus, die in einem einzigen Punkt endet.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für das Volumen einer Pyramide?+
V = ⅓ × Grundfläche × h, wobei Grundfläche = Länge × Breite und h die senkrechte Höhe ist. Das ist genau ein Drittel des Volumens eines rechteckigen Prismas mit der gleichen Grundfläche und Höhe – das gleiche Verhältnis von 1:3, das ein Kegel zu seinem umschließenden Zylinder hat.
Was ist die Schräghöhe und warum gibt es bei einer rechteckigen Pyramide zwei davon?+
Die Neigungshöhe ist der Abstand entlang einer dreieckigen Fläche vom Mittelpunkt einer Basiskante bis zur Spitze – unterschiedlich zur vertikalen Höhe h. Eine rechteckige Grundfläche hat zwei Paare gegenüberliegender Flächen, und da jedes Paar ein anderes Apothem hat (die halbe Länge der senkrechten Grundfläche), erhält jedes Paar seine eigene Schräghöhe. Eine quadratische Grundfläche hat nur eine Schräghöhe, da beide Apotheme gleich sind.
Funktioniert das sowohl für quadratische als auch für rechteckige Pyramiden?+
Ja. Wählen Sie „Quadratische Basis“ und geben Sie eine Länge ein (die Breite passt sich automatisch an), oder wählen Sie „Rechteckige Basis“ und geben Sie Länge und Breite unabhängig voneinander ein. Eine quadratische Pyramide ist nur der Sonderfall, bei dem Länge gleich Breite ist, sodass ihre beiden schrägen Höhen zu einer zusammenfallen.
Wie ermittelt man die Oberfläche einer Pyramide?+
Gesamtoberfläche = Grundfläche + Seitenfläche, wobei die Seitenfläche die Flächen aller vier dreieckigen Seitenflächen unter Verwendung ihrer jeweiligen Neigungshöhen summiert. Wenn Sie das Material nur für die geneigten Seiten benötigen – zum Beispiel für die Überdachung eines Walmdachaufbaus – verwenden Sie nur den seitlichen Bereich.
Hat eine Pyramide wirklich ein Drittel des Volumens eines Prismas?+
Ja. Eine Pyramide und ein rechteckiges Prisma, die die gleiche Grundfläche und Höhe haben, haben Volumen im genauen Verhältnis 1:3: V_Pyramide = ⅓ × Grundfläche × h, während V_Prisma = Grundfläche × h. Dies gilt für jede gerade Pyramide mit rechteckiger oder quadratischer Grundfläche, unabhängig von ihrer Größe.
Welche Einheiten verwendet der Pyramidenrechner?+
Geben Sie die Basislänge, -breite und -höhe in Zoll, Fuß, Zentimeter oder Metern ein – wählen Sie die Einheit aus der Dropdown-Liste aus und verwenden Sie sie konsistent für alle drei Eingaben. Das Volumenergebnis wird in der entsprechenden Kubikeinheit (in³, ft³, cm³ oder m³) und die Oberfläche in der entsprechenden Quadrateinheit angezeigt.
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