Der Mittelpunkt ist der Punkt genau in der Mitte zwischen zwei anderen und ist eines der nützlichsten Ergebnisse in der Koordinatengeometrie. In diesem Leitfaden wird die Mittelpunktformel erklärt, wie sie mit Entfernung und Neigung zusammenhängt, was in 3D zu tun ist und wie man rückwärts arbeitet, um einen fehlenden Endpunkt zu finden.

Die Mittelpunktformel und warum sie nur ein Durchschnitt ist

Um den Punkt in der Mitte zwischen zwei Werten auf einer Zahlengeraden zu finden, mitteln Sie sie – die Zahl in der Mitte zwischen 2 und 8 ist (2 + 8)/2 = 5. Die Mittelpunktformel macht genau das, eine Achse nach der anderen: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). In drei Dimensionen mitteln Sie auch die Z-Werte. Da jede Koordinate unabhängig behandelt wird, erstreckt sich die Formel auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen, ohne ihre Form zu ändern.

Das Ergebnis bezieht sich immer auf das gerade Segment, das die beiden Punkte verbindet, und teilt dieses Segment in zwei gleiche Hälften – sodass der Abstand von A nach M dem Abstand von M nach B entspricht.

Entfernung und Steigung desselben Segments

Sobald Sie zwei Punkte haben, gibt es zwei weitere Fakten fast umsonst. Der Abstand zwischen ihnen ist die Länge des Segments, ermittelt mit d = √(Δx² + Δy²) – dem Satz des Pythagoras mit den Koordinatendifferenzen als Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks. In 3D fügen Sie Δz² unter der Wurzel hinzu.

Die Steigung (eine 2D-Idee) misst die Steilheit als Anstieg über der Strecke, m = Δy ÷ Δx. Eine positive Steigung steigt nach rechts an, eine negative fällt ab und eine horizontale Linie hat die Steigung 0. Wenn die beiden Punkte einen gemeinsamen x-Wert haben, ist der Verlauf Null, sodass die Steigung undefiniert und nicht unendlich ist – dieser Rechner sagt dies explizit, anstatt durch Null zu dividieren.

Arbeiten in drei Dimensionen

Beim Wechsel zu 3D wird jedem Punkt eine Z-Koordinate hinzugefügt. Die Mittelpunkt- und Distanzformeln erhalten einfach einen Z-Term. Allerdings hat die Steigung in 3D keinen einzelnen Wert: Eine Linie im Raum wird durch einen Richtungsvektor und nicht durch eine Steigungs-Überlauf-Zahl beschrieben, daher meldet der Rechner die Steigung als „N/A in 3D“. Die Koordinatenskizze hilft weiterhin, indem sie den Schatten des Segments auf der xy-Ebene zeigt.

Umkehren der Formel, um einen Endpunkt zu finden

Manchmal wissen Sie, wo sich die Mitte eines Segments und eines seiner Enden befindet, und Sie benötigen das andere Ende – zum Beispiel, um einen Punkt durch einen Mittelpunkt zu spiegeln. Das Umstellen der Mittelpunktsformel ergibt B = 2M − A: Verdoppeln Sie den Mittelpunkt und subtrahieren Sie den bekannten Endpunkt, Koordinate für Koordinate. Auf der Registerkarte „Endpunkt suchen“ wird dies automatisch durchgeführt. Sie können dies auf Plausibilität überprüfen, indem Sie die Antwort wieder in die Registerkarte „Mittelpunkt“ eingeben.