Eine Ellipse wird vollständig durch nur zwei Zahlen definiert: ihre große Halbachse und ihre kleine Halbachse. Allein aus diesen beiden Werten können Sie die Fläche, eine genaue Schätzung des Umfangs, die Exzentrizität, die seine Form beschreibt, und die Lage seiner beiden Schwerpunkte ableiten. Dieser Rechner berechnet alle vier sofort und zeigt, wie sie zueinander in Beziehung stehen – und zu den bekannten Kreisformeln, die Sie bereits kennen.

So funktioniert der Ellipsenrechner

Fläche ergibt sich direkt aus A = πab, einer einfachen Erweiterung der Kreisformel πr². Der Umfang ist schwieriger: Es gibt keine elementare Formel für den genauen Umfang einer Ellipse, da hierfür ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art berechnet werden muss. Stattdessen verwendet dieser Rechner Ramanujans zweite Näherung, P ≈ π(a+b)[1 + 3h/(10+√(4-3h))], wobei h = ((a-b)/(a+b))², die für praktisch jede Ellipse auf einen kleinen Bruchteil eines Prozents genau ist. Die Exzentrizität e = √(1 - b²/a²) und die Brennweite c = √(a² - b²) stammen beide direkt aus der pythagoräischen Beziehung zwischen a, b und c in der definierenden Geometrie der Ellipse.

Eingaben und was sie bedeuten

Geben Sie die große Halbachse (a) ein – die Hälfte des längsten Durchmessers der Ellipse – und die kleine Halbachse (b) – die Hälfte ihres kürzesten Durchmessers. Beide müssen positiv sein und per Definition muss a größer oder gleich b sein (wenn Sie die Achsen vertauscht haben, tauschen Sie einfach den Wert aus, den Sie wo eingeben). Das Verhältnis zwischen a und b, nicht ihre absolute Größe, bestimmt die Exzentrizität: Eine 10-mal-6-Ellipse und eine 5-mal-3-Ellipse haben genau die gleiche Exzentrizität und Form, sind jedoch unterschiedlich skaliert.

Grenzen und Randfälle

Wenn a = b, wird die Ellipse zu einem Kreis – die Exzentrizität ist genau 0 und die beiden Brennpunkte verschmelzen in der Mitte. Die für den Umfang verwendete Ramanujan-Näherung ist äußerst genau, aber nicht exakt; Für die meisten Konstruktions- und Designzwecke ist der winzige Restfehler (deutlich unter 0,1 % bei typischen Ellipsen) vernachlässigbar. Dieser Rechner berechnet eine standardmäßige achsenausgerichtete Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung – er modelliert keine gedrehte Ellipse oder ein Ellipsoid (eine 3D-Form), für die andere Werkzeuge erforderlich sind.