Berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten im 3D-Raum mithilfe der Abstandsformel plus dem Mittelpunkt und dem Vektor zwischen ihnen.
Zwei Punkte
A
B
Versuchen Sie:
3D-Entfernung
—
Geben Sie beide Punkte ein, um die Entfernung anzuzeigen.
—
Δx
—
Δy
—
Δz
Geben Sie beide Punkte oben ein, um den 3D-Abstand anzuzeigen.
Mittelpunkt von A und B
—
Geben Sie beide Punkte ein, um den Mittelpunkt zu berechnen.
Der Mittelpunkt ist der genaue Mittelpunkt des Liniensegments, das Punkt A und Punkt B verbindet – ermittelt durch separate Mittelung jeder Koordinate: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).
Verschiebungsvektor, A → B
—
Geben Sie beide Punkte ein, um den Vektor zu berechnen.
—
Größe
Der Vektor von A nach B ist B − A: (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Seine Größe (Länge) ist der gleiche Wert wie die 3D-Entfernung.
3 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragend = √(Δx² + Δy² + Δz²)
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Geben Sie die Koordinaten beider Punkte ein
Geben Sie die X-, Y- und Z-Koordinaten von Punkt A und Punkt B in die gemeinsame Eingabekarte ein. Alle drei Registerkarten unten verwenden dieselben zwei Punkte.
2
Lesen Sie die Entfernung ab
Die Registerkarte „Abstand“ zeigt den geradlinigen Abstand zwischen den beiden Punkten, berechnet als d = √(Δx²+Δy²+Δz²) – die gleiche Idee wie der Satz des Pythagoras, erweitert auf eine dritte Dimension.
3
Überprüfen Sie den Mittelpunkt und den Vektor
Wechseln Sie zur Registerkarte „Mittelpunkt“, um die genaue Mitte des Segments anzuzeigen, das A und B verbindet, oder zur Registerkarte „Vektor“, um die Verschiebung von A nach B und deren Größe anzuzeigen.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
3D-Distanzformel
d = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Δx, Δy und Δz sind die Unterschiede zwischen Punkt B und Punkt A in jeder Achse (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). Durch Quadrieren, Summieren und Ziehen der Quadratwurzel ergibt sich der geradlinige Abstand zwischen den beiden Punkten – eine Erweiterung des zweidimensionalen Satzes des Pythagoras auf drei Dimensionen. Das Ergebnis liegt in der Längeneinheit vor, die die Koordinaten bereits verwenden.
Mittelpunktformel
M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
Der Mittelpunkt ist der koordinatenweise Durchschnitt der beiden Punkte – der genaue Mittelpunkt des sie verbindenden Liniensegments.
Verschiebungsvektor
v = B − A = (x2−x1, y2−y1, z2−z1)
Der Vektor, der von Punkt A nach Punkt B zeigt. Seine drei Komponenten sind die gleichen Δx, Δy, Δz, die in der Abstandsformel verwendet werden, und seine Größe (Länge) entspricht dem 3D-Abstand.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
Die geradlinige Länge des Segments, das zwei Punkte im dreidimensionalen Raum verbindet, berechnet als √(Δx²+Δy²+Δz²).
Das auf dem Satz des Pythagoras basierende Standard-Entfernungsmaß „Luftlinie“ wird in 2D, 3D oder einer beliebigen Anzahl von Dimensionen angewendet, indem die quadrierten Differenzen jeder Koordinate summiert werden.
Der Punkt genau in der Mitte zwischen zwei gegebenen Punkten, ermittelt durch Mittelung ihrer Koordinaten auf jeder Achse.
Ein Vektor, der die Richtung und Entfernung von einem Punkt zum anderen beschreibt. Von A nach B ist es gleich B − A mit den Komponenten (Δx, Δy, Δz).
Die (x, y, z)-Werte, die einen Punkt im dreidimensionalen Raum relativ zu einem festen Ursprung lokalisieren.
Die Regel besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist. Die 3D-Abstandsformel erweitert dies durch die Verkettung zweier rechtwinkliger Dreiecke – eines in der xy-Ebene, eines in z-Ebene.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Basisszenario
Ursprung zu (1, 2, 2)
Punkt A (0, 0, 0)Punkt B (1, 2, 2)
Δx=1, Δy=2, Δz=2, also d = √(1²+2²+2²) = √9 = 3. Dies ist das Standardbeispiel des Rechners – ein sauberes, genaues Ergebnis, das leicht von Hand überprüft werden kann.
🎯
Mittelpunktprüfung
Dieselben zwei Punkte, Registerkarte „Mittelpunkt“.
Punkt A (0, 0, 0)Punkt B (1, 2, 2)
Der Mittelpunkt bildet den Durchschnitt jeder Koordinate: ((0+1)/2, (0+2)/2, (0+2)/2) = (0,5, 1, 1) – die genaue Mitte des Segments zwischen den beiden Punkten.
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Vektorprüfung
Dieselben zwei Punkte, Registerkarte „Vektor“.
Punkt A (0, 0, 0)Punkt B (1, 2, 2)
Der Verschiebungsvektor von A nach B ist B − A = (1−0, 2−0, 2−0) = (1, 2, 2). Sein Betrag, √(1²+2²+2²) = 3, entspricht dem Abstand aus dem ersten Beispiel – die Länge des Vektors ist immer gleich dem Abstand zwischen den Punkten.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Das Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum ist in der Geometrie, Physik, Computergrafik und Technik ein ständiges Thema – überall dort, wo Positionen mit X-, Y- und Z-Koordinaten verfolgt werden. Dieser Rechner wendet die 3D-Entfernungsformel direkt an und liefert außerdem zwei eng verwandte Ergebnisse: den Mittelpunkt des Segments und den Verschiebungsvektor zwischen den Punkten.
So funktioniert die 3D-Distanzformel
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Die Formel d = √(Δx²+Δy²+Δz²) ist eine direkte Erweiterung der 2D-Abstandsformel, die selbst der getarnte Satz des Pythagoras ist. In 2D finden Sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, das durch Δx und Δy gebildet wird. In 3D wenden Sie den Satz des Pythagoras zweimal an: Zuerst, um den diagonalen Abstand über die xy-Ebene (√(Δx²+Δy²)) zu ermitteln, dann behandeln Sie diese Diagonale und Δz als die beiden Schenkel eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks, das in die z-Achse aufsteigt. Durch Quadrieren beider Seiten und Vereinfachen erhält man die hier verwendete kompakte Drei-Term-Formel.
Eingaben und was sie bedeuten
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Der Rechner verwendet sechs Zahlen: die x-, y- und z-Koordinaten von Punkt A und die x-, y- und z-Koordinaten von Punkt B. Es gibt keine erforderlichen Einheiten – die Formel funktioniert identisch, unabhängig davon, ob Ihre Koordinaten in Metern, Zoll, Pixeln oder einer anderen konsistenten Einheit angegeben sind, und das Ergebnis wird in derselben Einheit ausgegeben. Negative Koordinaten werden vollständig unterstützt, da sich der 3D-Raum entlang jeder Achse in beide Richtungen erstreckt.
Grenzen und Randfälle
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Wenn Punkt A und Punkt B dieselben Koordinaten haben, ist der Abstand 0 und der Verschiebungsvektor ist (0, 0, 0) – es gibt keine aussagekräftige Richtung zu melden. Diese Formel misst nur die geradlinige Entfernung („Luftlinie“); Hindernisse, gekrümmte Pfade oder Routingbeschränkungen werden nicht berücksichtigt. Es ist auch eine andere Metrik als die Manhattan-Entfernung (die absolute Koordinatenunterschiede summiert, anstatt eine Quadratwurzel aus Quadraten zu ziehen) – die beiden liefern unterschiedliche Antworten, außer entlang einer einzigen Achse.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Was ist die 3D-Distanzformel?+
d = √(Δx²+Δy²+Δz²), wobei Δx, Δy und Δz die Unterschiede zwischen den x-, y- und z-Koordinaten der beiden Punkte sind. Es ist die direkte dreidimensionale Erweiterung des Satzes des Pythagoras.
Wie unterscheidet sich dies von der 2D-Distanzformel?+
Die 2D-Formel ist die gleiche Idee, wobei der z-Term weggelassen wurde: d = √(Δx²+Δy²). Wenn beide Punkte dieselbe Z-Koordinate haben, reduziert sich die 3D-Formel auf genau die 2D-Formel.
Wie findet man den Mittelpunkt zweier 3D-Punkte?+
Jede Koordinate einzeln mitteln: Mittelpunkt = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2). Es ist der Punkt genau in der Mitte zwischen A und B auf jeder Achse.
Welche Einheiten verwendet das Ergebnis?+
Unabhängig davon, in welcher Längeneinheit sich Ihre Koordinaten bereits befinden. Die Formel ist einheitenunabhängig – geben Sie die Koordinaten in Metern ein und die Entfernung wird in Metern ausgegeben; Geben Sie sie in Zoll ein und es kommt in Zoll heraus.
Was ist der Verschiebungsvektor?+
Der Vektor von Punkt A zu Punkt B, berechnet als B − A: (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Es erfasst sowohl Richtung als auch Entfernung; seine Größe entspricht der 3D-Entfernung.
Ist das dasselbe wie die Entfernung nach Manhattan?+
Nein. Die Manhattan-Distanz summiert die absoluten Differenzen (|Δx|+|Δy|+|Δz|), anstatt die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate zu ziehen. Es misst die Fahrt im Rasterstil (z. B. Stadtblöcke) anstelle einer geraden Linie und gibt im Allgemeinen für dieselben zwei Punkte eine größere Zahl als die euklidische Distanz an.
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