Eine Quadratwurzel macht das Quadrieren rückgängig: Sie gibt an, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den gegebenen Wert ergibt. Dieser Ratgeber erklärt, was eine Wurzel ist, wie sie sich exakt vereinfachen lässt, worin sich die Hauptwurzel und die negative Wurzel unterscheiden und warum manche Wurzeln rational, die meisten jedoch irrational sind.
Was eine Wurzel wirklich bedeutet
Das Wurzelzeichen √ steht für eine Wurzel. Eine Quadratwurzel von x ist eine Zahl, deren Quadrat wieder x ergibt; eine Kubikwurzel ergibt nach dem Kubieren wieder diesen Wert, und eine n-te Wurzel ergibt nach der n-ten Potenz wieder x. Algebraisch entspricht eine Wurzel einem gebrochenen Exponenten: √x = x^(1/2) und die n-te Wurzel entspricht x^(1/n).
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, und die kleine Zahl am Wurzelzeichen ist der Index. Bei einer Quadratwurzel wird der Wurzelexponent weggelassen; √ allein bezeichnet daher immer die Quadratwurzel.
Radikale exakt vereinfachen
Die meisten Wurzeln sind irrational. Viele lassen sich jedoch übersichtlicher schreiben, indem man einen Quadratzahlfaktor herauszieht. Es gilt: √(a² · b) = a√b. Um √72 zu vereinfachen, zerlegen Sie 72 in Primfaktoren: 72 = 2³ × 3² und gruppieren Sie gleiche Faktoren paarweise: Ein Paar Zweien und ein Paar Dreien werden als 2 und 3 (also 6) vor die Wurzel gezogen; eine einzelne 2 bleibt unter der Wurzel. Das Ergebnis, 6√2ist exakt und deutlich übersichtlicher als 8,4853 …
Dasselbe Prinzip gilt für jeden Wurzelexponenten: Bei einer Kubikwurzel können Faktoren herausgezogen werden, deren Exponent durch drei teilbar ist. Im Tab „Wurzel vereinfachen“ zeigt dieser Rechner jeden Schritt der Zerlegung.
Hauptwurzel, negative Wurzel und imaginäre Ergebnisse
Jede positive Zahl hat two Quadratwurzeln – zum Beispiel ergeben sowohl 5 als auch −5 quadriert 25. Das Wurzelzeichen gibt die principal (nichtnegative) Wurzel zurück, also √25 = 5. Die Gleichung x² = 25 hat dagegen sowohl 5 als auch −5 als Lösungen. Diese Unterscheidung verhindert einen häufigen Fehler in der Algebra.
Bei negativen Radikanden kommt es auf den Wurzelexponenten an. Eine even Wurzel aus einer negativen Zahl ist imaginary – es gibt keine reelle Zahl, deren gerade Potenz negativ ist –, also gilt √(−9) = 3i. Eine odd Wurzel aus einer negativen Zahl ist eine reelle negative Zahl, denn eine negative Zahl bleibt bei einer ungeraden Potenz negativ: Die Kubikwurzel aus −27 ist −3.
Rationale und irrationale Wurzeln
Die Quadratwurzel einer perfect square (1, 4, 9, 16, 25 …) ist eine ganze Zahl und daher rational. Die Quadratwurzel jeder anderen ganzen Zahl ist irrational Quadratwurzel irrational: eine Dezimalzahl, die nie endet und sich nicht wiederholt, wie √2 = 1,41421356 … Deshalb ist die exakte Wurzelform wichtig – 6√2 gibt den Wert exakt an, während jede Dezimalzahl nur eine Näherung ist. Der Quadratzahlhinweis dieses Werkzeugs zeigt sofort, welcher Fall vorliegt.