Die partielle Bruchzerlegung nimmt einen einzelnen rationalen Ausdruck und zerlegt ihn in eine Summe einfacherer Brüche – das Gegenteil der Suche nach einem gemeinsamen Nenner. Es taucht ständig in der Analysis (Integration rationaler Funktionen), Differentialgleichungen (inverse Laplace-Transformationen) und der Kontrolltheorie auf. Dieser Rechner behandelt die drei Fälle, die in jedem Einführungskurs behandelt werden: verschiedene lineare Faktoren, ein wiederholter linearer Faktor und ein linearer Faktor gepaart mit einem irreduziblen Quadrat.
Warum überhaupt einen Bruch zerlegen?
Einige Operationen sind bei der Summe einfacher Brüche einfach, bei einem komplizierten Bruch jedoch schwierig. Die Integration von 1/(x − 1) ist eine einzeilige Protokollregel; Die direkte Integration von (3x + 5)/[(x + 1)(x + 2)] ist erst dann offensichtlich, wenn es als 2/(x + 1) + 1/(x + 2) umgeschrieben wird. An diesem Punkt handelt es sich um zwei einfache logarithmische Integrale, die addiert werden. Der gleiche Trick vereinfacht inverse Laplace-Transformationen und partielle Ableitungsarbeiten in Ingenieurkursen.
Die Vertuschungsmethode für ausgeprägte Wurzeln
Wenn jeder Nennerfaktor ein anderer linearer Term (x − r) ist, erhält jeder genau eine unbekannte Konstante. Der schnellste Weg, es zu finden, ist die Vertuschungsmethode (Heaviside): Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit diesem einzelnen Faktor, wodurch sie auf der linken Seite aufgehoben wird und jeder zweite Term auf der rechten Seite in Null umgewandelt wird, sobald Sie x durch die Wurzel dieses Faktors ersetzen. Was übrig bleibt, ist die Konstante, die direkt berechnet wird – kein Gleichungssystem erforderlich.
Wiederholte und irreduzibel-quadratische Faktoren benötigen mehr Terme
Ein wiederholter Faktor (x − r)^k erhält keinen einzigen Term – er benötigt einen separaten Term für jede Potenz von 1 bis k, da eine einzelne Konstante über (x − r)^k nicht jeden möglichen Zählergrad unter k reproduzieren kann. Ebenso benötigt ein irreduzibler quadratischer Faktor (einer ohne reelle Wurzeln) einen linearen Zähler, Bx + C, anstelle einer einfachen Konstante, da eine Konstante allein nicht mit einem Zähler übereinstimmen kann, der mit x variiert. Wenn Sie den Ausdruck „Formen“ falsch verstehen, wird kein Satz von Konstanten dazu führen, dass die Zerlegung dem ursprünglichen Ausdruck entspricht.
Überprüfen Sie Ihre Arbeit
Der sicherste Weg, einen arithmetischen Fehler zu erkennen, besteht darin, den Vorgang umzukehren: Multiplizieren Sie die Zerlegung wieder mit dem gemeinsamen Nenner und vergewissern Sie sich, dass der Zähler mit dem Zähler übereinstimmt, mit dem Sie begonnen haben. Die Registerkarte „Verifizieren“ dieses Rechners erledigt genau das – sowohl symbolisch (die Terme werden wieder zu einem einzigen Polynom kombiniert) als auch numerisch (den ursprünglichen Ausdruck und die Zerlegung am gleichen x-Wert auswerten und die Ergebnisse vergleichen).