Eine Wurzel ist die Umkehrung der Potenzierung einer Zahl: Während 3^2 = 9 sagt, was 3 zum Quadrat ergibt, stellt eine Quadratwurzel die umgekehrte Frage: Welche Zahl zum Quadrat ergibt 9? Dieser Rechner findet die Antwort für jeden Wurzelindex sowie seine Umkehroperation (Potenzierung einer Zahl) und erklärt dabei die kniffligen Fälle negativer Zahlen.
So funktioniert der Root-Rechner
Der Rechner berechnet die n-te Hauptwurzel einer Zahl unter Verwendung der Identität x^(1/n) – die gleiche Operation wie bei einem gebrochenen Exponenten. Für die häufigsten Fälle (Quadratwurzel, Kubikwurzel) wird für maximale Präzision das Äquivalent der integrierten Quadratwurzel- und Kubikwurzelfunktionen eines Computers verwendet. Für jeden anderen Index erhöht es die Zahl direkt auf die Potenz 1/n.
Der schwierigste Teil ist die Vorzeichenbehandlung. Eine positive Zahl hat immer eine genau definierte reelle Wurzel. Die Wurzel einer negativen Zahl hängt davon ab, ob der Index gerade oder ungerade ist: Ein ungerader Index (3, 5, 7, …) ergibt ein reell negatives Ergebnis, weil eine ungerade Potenz negativer Zahlen negativ bleibt. Ein gerader Index (2, 4, 6, …) hat kein echtes Ergebnis, da keine reelle Zahl, die gerade oft mit sich selbst multipliziert wird, einen negativen Wert ergeben kann – die wahre Antwort sind imaginäre Zahlen, die dieser Rechner markiert, anstatt stillschweigend eine falsche Zahl zurückzugeben.
Eingaben und was sie bedeuten
Auf der Registerkarte „N-te Wurzel“ ist Zahl der Radikand – der Wert, aus dem Sie die Wurzel ziehen, positiv oder negativ. Wurzelindex ist eine ganze Zahl von 2 oder größer, die angibt, welche Wurzel gezogen werden soll (2 = Quadratwurzel, 3 = Kubikwurzel, 4 = vierte Wurzel usw.).
Auf der Registerkarte „Potenz“ ist Basis die Zahl, die potenziert wird, und Exponent ist die Potenz selbst – dies kann eine ganze Zahl, ein Bruch oder negativ sein, da die Potenzierung die direkte Umkehrung der Potenzierung von a ist root.
Grenzen und Randfälle
Dieser Rechner meldet nur die Hauptwurzel (positive reelle Wurzel) – er zählt nicht jede komplexe Wurzel einer Zahl auf, was ein Thema für ein vollständiges Werkzeug zur komplexen Analyse ist. Wenn eine gerade Indexwurzel einer negativen Zahl angefordert wird, wird das Ergebnis als nicht reellwertig gekennzeichnet, anstatt eine falsche Zahl anzuzeigen.
Sehr große Exponenten oder Radikanden können die Genauigkeit der Standard-Gleitkomma-Arithmetik überschreiten; Die Ergebnisse werden auf eine angemessene Anzahl von Dezimalstellen gerundet und sollten als Näherungen für irrationale Werte wie √2 oder √3 behandelt werden.