Die Umkehrung einer Matrix macht das rückgängig, was die Matrix bewirkt – die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Umkehrung liefert immer die Identitätsmatrix. Dieser Rechner ermittelt A⁻¹ für 2×2- und 3×3-Matrizen mithilfe der Adjugate-Methode, einem formelbasierten Ansatz, der die Art und Weise widerspiegelt, wie die Berechnung in einem Kurs über lineare Algebra gelehrt wird.

So funktioniert die Adjugate-Methode

Die Adjugat-Methode bildet die Umkehrung aus drei Bestandteilen: der Determinante, der Cofaktormatrix und dem Adjugat. Jeder Cofaktor ist die Determinante der kleineren Matrix, die nach dem Löschen einer Zeile und Spalte übrig bleibt, multipliziert mit einem Wechselzeichen (+, −, +, − in einem Schachbrettmuster). Das Sammeln aller Cofaktoren in einer Matrix und deren Transponierung ergibt das Adjugat. Die Division des Adjugats durch die Determinante ergibt A⁻¹.

Für eine 2×2-Matrix reduziert sich dies auf eine bekannte Abkürzung: Vertauschen Sie die beiden diagonalen Einträge, negieren Sie die beiden nicht diagonalen Einträge und dividieren Sie dann alles durch ad − bc. Für 3×3-Matrizen erweitert der Rechner die Determinante entlang der ersten Zeile und berechnet alle neun Cofaktoren explizit, was auf der Registerkarte „Invers“ Schritt für Schritt angezeigt wird.

Eingaben und was sie bedeuten

Wählen Sie eine Matrixgröße (2×2 oder 3×3) und füllen Sie dann das Raster mit beliebigen reellen Zahlen – positiv, negativ oder dezimal. Es ist keine Einheitenumrechnung erforderlich. Der Rechner verarbeitet die Zahlen genau so, wie sie eingegeben wurden. Verwenden Sie die voreingestellten Schaltflächen, um die Identitätsmatrix, ein ausgearbeitetes Beispiel oder eine bewusst singuläre Matrix zu laden, um zu sehen, wie der Rechner jeden Fall behandelt.

Grenzen und Randfälle

Eine Matrix hat nur dann eine Umkehrung, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Wenn det(A) = 0, ist die Matrix singulär und der Rechner erklärt, dass keine Inverse existiert, anstatt durch Null zu dividieren. Dieser Rechner unterstützt nur 2×2- und 3×3-Matrizen – für größere Größen oder für Gauß-Jordan-Zeilenreduktionsschritte anstelle der adjugierten Methode verwenden Sie den Allzweck-Matrixrechner, der auch Addition, Multiplikation, RREF, LU-Zerlegung und Eigenwerte abdeckt.