Eine Determinante verdichtet eine ganze quadratische Matrix auf eine einzige Zahl, und diese Zahl beantwortet eine der nützlichsten Fragen in der linearen Algebra: Hat diese Matrix eine Umkehrung? Dieser Rechner führt Sie durch die Cofaktor-Erweiterungsmethode, die zur manuellen Berechnung einer Determinante für eine 2×2-, 3×3- oder 4×4-Matrix verwendet wird, und zeigt dabei jeden vorzeichenbehafteten Term an.
Wie die Cofaktor-Erweiterung funktioniert
Die Kofaktor-(Laplace-)Erweiterung berechnet eine Determinante, indem sie eine Zeile auswählt – dieser Rechner verwendet immer Zeile 1 – und sie für jeden Eintrag in dieser Zeile mit der Determinante seines Minor (der Matrix, die nach dem Löschen der Zeile und Spalte dieses Eintrags übrig bleibt) multipliziert, wobei abwechselnde Vorzeichen bei + beginnen. Für eine 2×2-Matrix lässt sich der Prozess auf die einzige Formel ad − bc reduzieren. Für 3×3 wird jeder der drei Einträge in Zeile 1 mit der Determinante seines 2×2-Molls multipliziert. Für 4×4 wird jeder der vier Einträge mit der Determinante seines 3×3-Minor multipliziert, die der Rechner direkt berechnet. Die Summierung der vorzeichenbehafteten Terme ergibt die endgültige Determinante.
Was eine Nulldeterminante bedeutet
Eine Determinante von genau 0 bedeutet, dass die Matrix singulär ist: Ihre Zeilen (oder Spalten) sind linear abhängig – eine Zeile kann als Kombination der anderen geschrieben werden, sodass die Matrix den Raum in eine niedrigere Dimension komprimiert, anstatt ihn in eine vollständige n-dimensionale Form zu strecken. Singuläre Matrizen haben keine Umkehrung, und wenn die Matrix ein System linearer Gleichungen darstellt, hat dieses System entweder überhaupt keine Lösung oder unendlich viele. Im Gegensatz dazu bedeutet jede Determinante ungleich Null, dass die Matrix invertierbar ist – es existiert eine eindeutige Umkehrung A⁻¹, sodass A · A⁻¹ die Identitätsmatrix ergibt.
Das Zeichenmuster lesen
Die abwechselnden Vorzeichen + und − bei der Cofaktor-Erweiterung folgen einem Schachbrettmuster: Das Vorzeichen des Cofaktors für Zeile i, Spalte j ist (−1) hoch (i + j). Da dieser Rechner immer entlang Zeile 1 expandiert (i = 1), wechseln sich die Vorzeichen einfach zwischen +, −, +, − über die Spalten ab. Dieses Muster ist der Grund, warum der mittlere Term einer 3×3-Entwicklung immer subtrahiert wird, während der erste und der dritte addiert werden – es ist nicht willkürlich, es fällt direkt aus der (−1)^(i+j)-Regel.