Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben die Richtungen, die eine Matrix unverändert lässt (abgesehen von der Skalierung) – ein Konzept, das überall auftaucht, von der Schwingungsanalyse und der Quantenmechanik bis hin zum PageRank-Algorithmus von Google und der Hauptkomponentenanalyse in der Statistik. Dieser Rechner löst beides direkt aus einer von Ihnen eingegebenen 2×2- oder 3×3-Matrix und zeigt das charakteristische Polynom, die Eigenwerte (reell oder komplex) und jeweils einen Einheitseigenvektor an.
So funktioniert der Löser
Der Rechner erstellt zunächst das charakteristische Polynom det(A − λI) aus der Spur und der Determinante der Matrix (und bei einer 3×3-Matrix aus der Summe ihrer 2×2 Hauptnebenprodukte). Für eine 2×2-Matrix ist dieses Polynom ein Quadrat, das direkt mit der Quadratformel gelöst wird. Bei einer 3×3-Matrix handelt es sich um eine kubische Matrix, die mit demselben getesteten kubischen Gleichungslöser gelöst wird, der auch vom Kubischen Gleichungsrechner verwendet wird – das charakteristische Polynom jeder 3×3-Matrix ist schließlich nur eine kubische Gleichung in λ. Sobald die Eigenwerte bekannt sind, ermittelt der Rechner für jeden einen Eigenvektor, indem er (A − λI) zeilenreduziert, um einen von Null verschiedenen Vektor in seinem Nullraum zu finden, und skaliert diesen Vektor dann auf die Einheitslänge.
Warum Eigenwerte komplex sein können – und was wiederholte Eigenwerte bedeuten
Sogar eine Matrix, die vollständig aus reellen Zahlen aufgebaut ist, kann komplexe Eigenwerte haben, wenn sie den Raum dreht, anstatt ihn nur entlang einer realen Richtung zu strecken (die 90°-Rotationsmatrix in den obigen Beispielen ist der sauberste Fall). In diesem Fall liegen die komplexen Eigenwerte immer als konjugiertes Paar vor, genau wie die komplexen Wurzeln eines reellen Polynoms. Unabhängig davon kann eine Matrix einen wiederholten Eigenwert haben – dasselbe λ erfüllt die charakteristische Gleichung mehr als einmal. Wenn der Eigenraum dieses Eigenwerts (die Menge aller seiner Eigenvektoren) genau so viele Dimensionen breit ist wie die Wiederholungsanzahl, ist die Matrix immer noch diagonalisierbar. Wenn der Eigenraum enger ist – nur eine unabhängige Richtung, obwohl sich der Eigenwert zwei- oder dreimal wiederholt – wird die Matrix als fehlerhaft bezeichnet, und die Interpretationslinie des Rechners kennzeichnet diesen Fall speziell.
Wo sich dies in der Praxis zeigt
Eigenwerte messen, wie stark eine Matrix den Raum entlang ihrer Eigenvektorrichtungen ausdehnt, weshalb sie in einem so breiten Anwendungsspektrum vorkommen: Die Eigenschwingungsfrequenzen einer Struktur sind die Eigenwerte ihrer Steifigkeitsmatrix, das langfristige Verhalten einer Markov-Kette wird durch den Eigenvektor bestimmt, der an ihren größten Eigenwert gebunden ist, und die Hauptkomponentenanalyse in der Statistik ordnet Richtungen in einem Datensatz nach den Eigenwerten ihrer Kovarianzmatrix. In jedem Fall wird die gleiche zugrunde liegende Frage gestellt: Welche Richtungen behandelt diese Matrix als „besonders“ und um wie viel skaliert sie jede einzelne?