Eine kubische Gleichung, ax³ + bx² + cx + d = 0, hat immer genau drei Wurzeln, wenn Sie wiederholte Wurzeln und komplexe Wurzeln zählen – aber im Gegensatz zu einer quadratischen Gleichung können Sie nicht immer auf einen Blick erkennen, ob es sich bei diesen Wurzeln um reelle Zahlen handelt, die Sie in einem Diagramm darstellen können, oder um komplexe Zahlen, die nur in der komplexen Ebene existieren. Dieser Rechner löst alle drei Wurzeln direkt auf und verwendet die Diskriminante, um im Klartext zu erklären, um welche Art von Wurzeln es sich handelt.
So funktioniert der Löser
Der Rechner ersetzt zunächst x = t − b/(3a), um den x²-Term zu entfernen, wodurch die allgemeine Kubikform in eine einfachere „vertiefte“ Kubikform t³ + pt + q = 0 umgewandelt wird. Von da an hängt der Pfad vom Vorzeichen einer internen diskriminantenähnlichen Größe ab, die aus p und q gebildet wird: Wenn sie negativ ist, hat die Gleichung drei verschiedene reelle Wurzeln, und der Rechner verwendet eine trigonometrische Formel (aufgebaut aus Arccos und Cosinus), die vollständig innerhalb reeller Zahlen bleibt. Wenn sie positiv ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel und ein komplex konjugiertes Paar, und der Rechner verwendet die Formel von Cardano mit einer Kubikwurzelfunktion, die negative Eingaben korrekt verarbeitet – und vermeidet so die Fallstricke bei der Zweigauswahl, die in diesem Fall naive Implementierungen der Formel von Cardano zum Stolpern bringen. Wenn sie Null ist (oder sehr nahe daran liegt), hat die Gleichung eine wiederholte reelle Wurzel, die der Rechner erkennt und entweder als Doppelwurzel oder als Dreifachwurzel bezeichnet.
Die Diskriminante lesen
Die Diskriminante Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² wird direkt aus den vier Koeffizienten berechnet – die Gleichung muss nicht zuerst gelöst werden. Allein das Vorzeichen verrät Ihnen die Natur der Wurzeln: Δ > 0 bedeutet drei verschiedene reelle Wurzeln (der Graph der Gleichung kreuzt die x-Achse dreimal); Δ = 0 bedeutet, dass mindestens zwei der Wurzeln zusammenfallen (der Graph berührt die x-Achse, ohne sie an diesem Punkt zu kreuzen); Δ < 0 bedeutet, dass nur eine Wurzel reell ist und die anderen beiden ein komplex konjugiertes Paar bilden (der Graph kreuzt die x-Achse genau einmal). Dies spiegelt die bekanntere b² − 4ac-Diskriminante aus der quadratischen Formel wider, die nur um einen weiteren Grad erweitert wurde.
Warum komplexe Wurzeln immer paarweise auftreten und was a = 0 bedeutet
Immer wenn eine kubische Gleichung reelle Koeffizienten hat (a, b, c und d sind alle gewöhnliche reelle Zahlen und nicht selbst komplex), treten alle darin enthaltenen komplexen Wurzeln garantiert in konjugierten Paaren auf – a + bi und a − bi –, da sich die Imaginärteile aufheben müssen, damit das Polynom eine reelle Koeffizientengleichung ergibt. Deshalb meldet dieser Rechner und jeder korrekte kubische Löser immer nur 0 oder 2 komplexe Wurzeln, niemals 1. Wenn Sie separat a = 0 eingeben, verschwindet der x³-Term und die Gleichung ist keine echte kubische Gleichung mehr – sie ist quadratisch, bx² + cx + d = 0, sodass der Rechner automatisch auf die quadratische Formel zurückgreift (und weiter auf einen linearen Löser, wenn b ebenfalls 0 ist), anstatt durch Null zu dividieren.