Eine komplexe Zahl erweitert die reelle Zahlenlinie um eine zweite, senkrechte Achse für Vielfache von i, der imaginären Einheit mit i² = −1. Dieser Leitfaden führt Sie durch die vier arithmetischen Operationen, warum das Konjugierte eine Division ermöglicht, wie Modul und Argument die Polarform einer komplexen Zahl beschreiben und wie der Satz von De Moivre Potenzen und Wurzeln in einfache Winkelarithmetik umwandelt.
Warum es mich gibt und was a + bi bedeutet
Reelle Zahlen allein können eine Gleichung wie x² = −1 nicht lösen, da die Quadrierung einer beliebigen reellen Zahl ein nichtnegatives Ergebnis liefert. Mathematiker lösten dieses Problem, indem sie eine neue Zahl, i, mit der Eigenschaft i² = −1 definierten. Eine komplexe Zahl a + bi kombiniert dann einen gewöhnlichen Realteil a mit einem Imaginärteil b, einem Vielfachen von i.
Geometrisch gesehen entspricht jede komplexe Zahl einem Punkt (a, b) auf einer zweidimensionalen Ebene – dem Realteil entlang der horizontalen Achse, dem Imaginärteil entlang der vertikalen Achse. Dies wird als Argand-Ebene (oder komplexe Ebene) bezeichnet und verwandelt die Algebra komplexer Zahlen in Geometrie: Addition wird zur Vektoraddition und Multiplikation wird zu einer Skalierung plus Drehung.
Arithmetik: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise – kombinieren Sie die Realteile und dann die Imaginärteile, ohne dass eine Wechselwirkung zwischen den beiden besteht. Multiplikation ist eine FOIL-Entwicklung, gefolgt von einer Vereinfachung mit i² = −1: Die Kreuzterme werden zum neuen Imaginärteil, und der i·i-Term wandelt das Vorzeichen in den Realteil um.
Division ist die einzige Operation, die einen Trick erfordert: Sie können einen komplexen Nenner nicht wie eine Quadratwurzel rationalisieren, sondern multiplizieren stattdessen oben und unten mit dem Konjugat des Nenners. Da z·conj(z) = |z|², wird der Nenner zu einer einfachen reellen Zahl und die Division reduziert sich auf zwei gewöhnliche reelle Divisionen. Die Division durch 0 + 0i ist aus dem gleichen Grund undefiniert wie die Division durch 0 auf der reellen Linie – dieser Rechner markiert dies explizit, anstatt ein fehlerhaftes Ergebnis anzuzeigen.
Modul, Argument und Polarform
Jede komplexe Zahl hat neben a + bi zwei nützliche Beschreibungen. Der Modul |z| = √(a² + b²) ist sein Abstand vom Ursprung – buchstäblich der Satz des Pythagoras, angewendet auf den Punkt (a, b). Das Argument ist der Winkel, den dieser Punkt mit der positiven reellen Achse bildet, berechnet mit atan2(b, a), sodass jeder Quadrant (und die Achsen) korrekt aufgelöst wird, anstatt durch Null zu dividieren.
Zusammen ergeben Modul und Argument die Polarform r∠θ – eine äquivalente Möglichkeit, dieselbe Zahl zu schreiben. Die Polarform ist oft bequemer als a + bi: Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarform multipliziert lediglich ihre Moduli und addiert ihre Argumente, was weitaus einfacher ist als die FOIL-Entwicklung in Rechteckform.
Der Satz von De Moivre: Potenzen und Wurzeln leicht gemacht
Das wiederholte Multiplizieren einer komplexen Zahl mit sich selbst würde normalerweise wiederholte FOIL-Erweiterungen bedeuten. Der Satz von De Moivre verkürzt dies: in Polarform, z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ) – erhöhe den Modul auf die n-te Potenz und multipliziere das Argument mit n. Die Quadrierung von 1 + i (Modul √2, Argument 45°) auf diese Weise ergibt Modul 2 und Argument 90°, d. h. 2i, entsprechend der direkten Entwicklung.
Das Finden einer n-ten Wurzel kehrt den Prozess mit einer Wendung um: Da sich Winkel alle 2π (360°) wiederholen, gibt es genau n verschiedene Wurzeln, die gleichmäßig um einen Kreis mit dem Radius r^(1/n) verteilt sind. Jeder erfüllt root^n = z. Aus diesem Grund hat beispielsweise die Gleichung x³ = 1 drei komplexe Lösungen und nicht nur eine – die reelle Wurzel 1 plus zwei komplexe Wurzeln symmetrisch zur reellen Achse.