Durch das Vervollständigen des Quadrats wird ein Quadrat von der Standardform (ax² + bx + c) in die Scheitelpunktform (a(x − h)² + k) umgewandelt, wodurch der Scheitelpunkt der Parabel sofort sichtbar wird, ohne dass eine grafische Darstellung oder Verwendung der quadratischen Formel erforderlich ist. Es ist auch die Technik, die zur Ableitung der quadratischen Formel selbst verwendet wird.
So funktioniert das Vervollständigen des Quadrats
Beginnen Sie mit ax² + bx + c. Wenn a = 1, gruppieren Sie die x²- und x-Terme, nehmen Sie die Hälfte des x-Koeffizienten und quadrieren Sie ihn – dieses Quadrat ist genau das, was benötigt wird, um die Gruppe in ein vollkommen quadratisches Trinom umzuwandeln. Addiere und subtrahiere es, damit sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert, schreibe dann das perfekte Quadrat in (x − h)² um und kombiniere die verbleibenden Konstanten zu k.
Wenn a ≠ 1, faktorisiere a aus den ersten beiden Termen, bevor du das Quadrat in den Klammern vervollständigst, und verteile dann ein Backout über die Konstante, die subtrahiert wird. Die Formeln h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a) liefern direkt das gleiche Ergebnis, ohne jeden Algebraschritt von Hand aufzuschreiben.
Eingaben und was sie bedeuten
Geben Sie a, b und c genau so ein, wie sie in Ihrer quadratischen ax² + bx + c erscheinen. a ist der führende Koeffizient und kann nicht 0 sein – ein Wert von 0 würde den Ausdruck linear machen, ohne dass ein Quadrat vervollständigt werden müsste. b ist der Koeffizient von x und c ist der konstante Term. Alle drei können positive, negative, dezimale oder ganze Zahlen sein.
Die beiden Ausgaben h und k bilden zusammen den Scheitelpunkt (h, k). h gibt Ihnen die Symmetrieachse der Parabel (x = h) an und k gibt Ihnen den minimalen oder maximalen Wert an, den das Quadrat annehmen kann.
Grenzen und Randfälle
Dieser Rechner verarbeitet reelle Koeffizienten für eine Standardquadratzahl; Es löst keine komplexen Wurzeln auf und verarbeitet keine Quadrate in mehr als einer Variablen. Wenn a sehr nahe bei 0 liegt (aber nicht genau 0), können h und k extrem groß werden, da beide Formeln durch a dividieren – überprüfen Sie Ihre Koeffizienten noch einmal, wenn das Ergebnis unerwartet groß aussieht.
Das Vervollständigen des Quadrats hängt eng mit dem Lösen quadratischer Gleichungen zusammen: Das Setzen der Scheitelpunktform gleich 0 und das Auflösen nach x ist genau die Art und Weise, wie die quadratische Formel selbst abgeleitet wird. Wenn Sie die Wurzeln von ax² + bx + c = 0 anstelle der Scheitelpunktform benötigen, verwenden Sie stattdessen den Rechner für quadratische Formeln.