Eine arithmetische Folge ist eines der einfachsten und nützlichsten Muster in der Mathematik: Beginnen Sie mit einer Zahl und addieren (oder subtrahieren) Sie dann immer wieder denselben Betrag, um die nächste zu erhalten. Dieser Rechner findet jeden Begriff in der Sequenz direkt, summiert eine Reihe von Begriffen und listet sie auf, damit Sie das Muster selbst erkennen können.

So funktioniert die Formel für den n-ten Term

Anstatt jeden Term einzeln durchzugehen, springt die Formel aₙ = a₁ + (n − 1)d direkt zu jeder Position. Das funktioniert, weil der Übergang vom ersten Term zum n-ten Term immer genau (n − 1) Schritte der Größe d erfordert – der erste Term selbst benötigt null Schritte, der zweite Term einen Schritt und so weiter. Dies macht es einfach, beispielsweise den 500. Begriff zu finden, ohne jemals die ersten 499 ausschreiben zu müssen.

Warum die Summenformel erste und letzte Terme paart

Die Summenformel Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) basiert auf einem klassischen Trick: Schreiben Sie die Summe vorwärts und rückwärts und addieren Sie dann die beiden Kopien. Jedes Paar (erstes + letztes, zweites + vorletztes usw.) ergibt in der Summe die gleiche Summe, a₁ + aₙ, und es gibt n solcher Paare, wenn man beide Kopien zählt – eine Division durch 2 ergibt also die tatsächliche Summe. Dies ist die gleiche Erkenntnis, die bekanntlich einem jungen Gauß zugeschrieben wird, der 1 bis 100 summiert.

Eingaben, Grenzwerte und Randfälle

a₁ und d akzeptieren jede reelle Zahl, einschließlich negativer und dezimaler Zahlen – ein negatives d erzeugt einfach eine absteigende Folge und d = 0 erzeugt eine konstante Eins. n muss eine ganze Zahl von 1 oder größer sein; Dieser Rechner begrenzt n auf 1.000.000, um die Mathematik klar zu definieren, und die angezeigte Begriffsliste ist auf 500 Begriffe begrenzt, damit die Seite responsiv bleibt, obwohl aₙ und Sₙ immer noch genau für das von Ihnen eingegebene vollständige n berechnet werden.