Die Black-Scholes-Formel ist die wichtigste Gleichung auf modernen Optionsmärkten. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und (unabhängig) Robert Merton veröffentlicht und gibt einen geschlossenen Preis für eine europäische Call- oder Put-Option an. Heutzutage verwenden Händler die Formel selten direkt, um einen fairen Preis zu finden – sie verwenden sie, um beobachtete Optionspreise in implizite Volatilität umzuwandeln und dann mit dieser Volatilität zu handeln. Für den Optionshandel ist es von grundlegender Bedeutung, zu verstehen, was die Formel voraussetzt und was die Griechen messen.
Was Black-Scholes tatsächlich sagt
Die Formel drückt den Preis einer Option als Funktion von sechs Eingaben aus: Basispreis (S), Ausübungspreis (K), Zeit bis zum Verfall (T), risikofreier Zinssatz (r), Volatilität (σ) und Optionstyp (Call oder Put). Die klassische Form sieht keine Dividenden vor; Eine kleine Verallgemeinerung behandelt die kontinuierliche Dividendenrendite.
Der Preis setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Für einen Call beträgt die erwartete Auszahlung S·N(d1) (der erwartete Wert der Aktie, wenn die Option ITM beendet), minus K·e^(−rT)·N(d2) (der abgezinste Strike, gewichtet mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit, ITM zu beenden). N(·) ist die standardmäßige normale CDF. Die gesamte Ableitung basiert auf der Nicht-Arbitrage: Ein kontinuierlich neu gewichtetes Portfolio aus Aktien und Anleihen kann die Option nachbilden, und die Kosten dieses Portfolios müssen dem Preis der Option entsprechen.
Die Griechen und wie sich Optionen bewegen
Die Griechen sind die partiellen Ableitungen des Optionspreises in Bezug auf jede Eingabe. Jeder erzählt eine andere Geschichte. Delta wird bei weitem am häufigsten verwendet: Es gibt sowohl die Empfindlichkeit der Option gegenüber zugrunde liegenden Bewegungen als auch (ungefähr) die Wahrscheinlichkeit an, im Geld zu landen. Market Maker sichern Delta ab, indem sie den Basiswert handeln, wodurch sie einem Gamma-Risiko ausgesetzt sind – der Krümmung der Auszahlung der Option.
Theta und Vega sind die Zeit- und Volatilitätshebel. Long-Optionen verfallen jeden Tag (negatives Theta), profitieren aber, wenn die Volatilität steigt (positives Vega). Dies ist der klassische Kompromiss, mit dem Käufer von Long-Premium-Anleihen konfrontiert sind. Rho ist im Alltag weniger wichtig, wird aber für langfristige Optionen (LEAPS) und für das Verständnis von Laufzeitstruktureffekten wichtig. Für ein vollständig durch Delta abgesichertes Buch beträgt die Gewinn- und Verlustrechnung ungefähr: ½·Γ·(ΔS)² + Θ·Δt + 𝒱·(ΔIV) – eine Gamma-Theta-Vega-Zerlegung, die einen Großteil der Optionsmarktgestaltung antreibt.
Einschränkungen, die Sie kennen müssen
Black-Scholes ist ein Modell, keine Realität. Es geht von einer konstanten Volatilität aus – aber in der Praxis werden Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen und Verfallszeiten mit unterschiedlichen impliziten Volatilitäten (Volatilitätslächeln und Laufzeitstruktur) gehandelt. Es wird von logarithmisch normalen Renditen ausgegangen – die realen Renditen weisen jedoch dicke Ausläufer und Lücken auf. Dabei wird ein kontinuierlicher Handel und keine Transaktionskosten vorausgesetzt – ein perfektes Delta-Hedge ist jedoch nicht möglich. Es wird von einer europäischen Ausübung ausgegangen – die meisten US-Aktienoptionen sind jedoch amerikanischer Art (frühzeitige Ausübung ist normalerweise nur für Deep-ITM-Puts und Pre-Dividenden-Calls von Bedeutung).
Praktiker gehen mit diesen Einschränkungen auf unterschiedliche Weise um. Volatilitätsoberflächenmodelle (SABR, lokales Volumen, stochastisches Volumen wie Heston) erfassen das Lächeln und die Termstruktur. Binomialbäume und Finite-Differenzen-Methoden bewerten amerikanische Optionen. Sprungdiffusionsmodelle fügen fette Schwänze hinzu. Keines davon verdrängt Black-Scholes für den täglichen Gebrauch – sie erweitern oder korrigieren es. Wenn Sie auf einem Brokerage-Bildschirm „IV von 25 %“ lesen, handelt es sich bei dieser Zahl fast immer um die von Black-Scholes implizite Vol.; Es ist die gemeinsame Sprache, auch wenn das zugrunde liegende Modell ausgefeilter ist.