Was Pearsons r misst
Eine positive Korrelation bedeutet, dass höhere Werte der einen Variablen in einem linearen Muster tendenziell mit höheren Werten der anderen einhergehen. Bei einer negativen Korrelation treten höhere Werte der einen eher zusammen mit niedrigeren Werten der anderen auf. Ein Koeffizient nahe null weist auf einen geringen linearen Zusammenhang hin, aber nicht zwingend auf das Fehlen eines Zusammenhangs.
Sehen Sie sich vor der Interpretation ein Streudiagramm an. Die NIST-Hinweise dazu zeigen Muster wie Nichtlinearität, veränderte Streuung und Ausreißer, die eine einzelne Kennzahl verbergen kann. [1]
Die Beobachtungen müssen sinnvoll paarweise zusammengehören. Die Körpergröße einer Person muss beispielsweise mit dem Messwert derselben Person für die andere Variable gepaart werden. Werden beide Listen vor der Berechnung unabhängig sortiert, gehen diese Zuordnungen verloren.
Berechnung mit zentrierten Werten
Ziehen Sie von jedem Wert den Mittelwert der jeweiligen Variablen ab, multiplizieren Sie die Abweichungen der zusammengehörenden Paare und setzen Sie ihre Summe ins Verhältnis zur Streuung beider Variablen:
r = Σ[(x − x̄)(y − ȳ)] ÷ √[Σ(x − x̄)² × Σ(y − ȳ)²]
Bei dieser Form muss nicht gesondert zwischen den Nennern für Stichproben- und Populationskovarianz gewählt werden, weil sich die entsprechenden Faktoren herauskürzen. Beide Variablen müssen streuen. Sind alle x- oder alle y-Werte identisch, ist Pearsons r nicht definiert.
Eine positive lineare Änderung der Einheiten, zum Beispiel von Zentimetern zu Metern, ändert r nicht. Wird eine Variable mit einer negativen Zahl multipliziert, kehrt sich das Vorzeichen um.
Beispiel mit gepaarten Werten
Verwenden Sie die x-Werte 1, 2, 3, 4 und 5 sowie die dazugehörigen y-Werte 2, 1, 4, 3 und 5. Beide Mittelwerte betragen 3. Die Summen der quadrierten Abweichungen betragen jeweils 10; die Summe der Kreuzprodukte beträgt 8.
r = 8 ÷ √(10 × 10) = 0,8
In dieser Stichprobe besteht ein positiver linearer Zusammenhang. Der Wert sagt nicht, wofür die Variablen stehen, ob eine die andere verursacht oder ob fünf Beobachtungen eine stabile Schätzung für die gesamte Population erlauben.
Bezeichnungen wie „stark“ hängen vom Kontext ab. Ein Koeffizient, der in einer verrauschten Verhaltensstudie nützlich ist, kann für eine präzise Kalibrierungsaufgabe unzureichend sein. Berichten Sie den Wert und den Kontext, statt eine universelle Skala für solche Etiketten vorauszusetzen.
Korrelation ist kein kausales Studiendesign
Zwei Variablen können gemeinsam schwanken, weil eine die andere beeinflusst, ein dritter Faktor beide beeinflusst, eine Auswahlverzerrung vorliegt oder beide einem gemeinsamen Zeittrend folgen. Der Koeffizient allein kann diese Erklärungen nicht unterscheiden.
Ein Unternehmen könnte beispielsweise feststellen, dass größere Kunden mehr Unterstützung erhalten und häufiger verlängern. Das beweist für sich genommen nicht, dass zusätzliche Unterstützung die Verlängerungen verursacht hat: Kundengröße, Produktpassung und Vertragsbedingungen könnten beides beeinflussen.
Eine Kausalitätsfrage erfordert ein geeignetes Studiendesign und passende Annahmen, etwa ein gut durchgeführtes randomisiertes Experiment oder eine begründete Beobachtungsstrategie. Ein Korrelationskoeffizient in einem Diagramm liefert dieses Design nicht.
Ausreißer und nichtlineare Muster können täuschen
Eine einzelne extreme Beobachtung eines Wertepaares kann r deutlich verändern. Prüfen Sie, ob es sich um einen gültigen Messwert, einen Eingabefehler oder einen Hinweis auf einen anderen Prozess handelt, bevor Sie entscheiden, wie Sie damit umgehen.
Ein U-förmiger Zusammenhang kann eine Korrelation nahe null haben, obwohl y stark von x abhängt. Auch eine eingeschränkte Spannweite einer Variablen kann die beobachtete Korrelation abschwächen. Werden unterschiedliche Gruppen zusammengefasst, kann das Gesamtergebnis vom Muster innerhalb jeder Gruppe abweichen.
Eine rangbasierte Korrelation kann bei der Frage nach einem monotonen Zusammenhang helfen, ist aber keine automatische Lösung für jede nichtlineare oder durch Störfaktoren verzerrte Beziehung. Wählen Sie die Kennzahl passend zur Fragestellung.
Unsicherheit und Grenzen angeben
Ein Stichprobenkoeffizient ist eine Schätzung. Wie stabil sie ist, hängt unter anderem von Stichprobengröße, Datenverteilung, Unabhängigkeit und Auswahlverfahren ab. Bei nur zwei nicht konstanten Wertepaaren ist r zwangsläufig +1 oder −1; diese scheinbare Perfektion liefert nur sehr wenig Evidenz.
Geben Sie bei r die Anzahl vollständiger Paare, ausgeschlossene Beobachtungen, Maßeinheiten und ein geeignetes Diagramm an. Konfidenzintervalle und Tests setzen zusätzliche Annahmen voraus, die über die beschreibende Korrelationsberechnung hinausgehen.
Häufige Fragen
Bedeutet eine Korrelation von null, dass es keinen Zusammenhang gibt?
Nein. Pearsons Korrelation misst den linearen Zusammenhang. Eine starke nichtlineare Beziehung kann einen Koeffizienten nahe null aufweisen.
Kann man Pearsons Korrelation berechnen, wenn eine Variable konstant ist?
Nein. Die Streuung dieser Variablen im Nenner ist dann null, sodass der Koeffizient nicht definiert ist.
Bedeutet r² immer den prozentualen Anteil, der durch eine Variable verursacht wurde?
Nein. In einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt beschreibt r² den Anteil der Stichprobenstreuung, den dieses angepasste lineare Modell erklärt. Es ist kein kausaler Prozentsatz.
Quellen und Berechnungshinweise
Die Primärquelle ist unten verlinkt.
Nutzen Sie diesen Leitfaden mit Bedacht. Die Beispiele veranschaulichen eine Berechnungsmethode und garantieren kein Ergebnis. Der Nutzen einer Kennzahl hängt von Definitionen, Messungen und verwendeten Annahmen ab.
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