Warum quadrierte Abweichungen verwendet werden
Subtrahiert man von jeder Beobachtung den Mittelwert, ergeben die Abweichungen in Summe null. Durch Quadrieren können positive und negative Werte einander nicht aufheben. Die Varianz mittelt die quadrierten Abweichungen mit dem gewählten Nenner; die Standardabweichung zieht die Quadratwurzel und kehrt damit zur ursprünglichen Einheit zurück. [1]
Populations-Standardabweichung = √[Σ(x − μ)² ÷ N]
Stichproben-Standardabweichung = √[Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)]
Die Populationsformel beschreibt die vollständig definierte Population. Die Stichprobenformel verwendet n − 1, wenn aus Beobachtungen die Populationsvarianz geschätzt wird, deren Mittelwert ebenfalls aus dieser Stichprobe geschätzt wurde.
Beispiel mit fünf Beobachtungen
Die Werte lauten 2, 4, 4, 4 und 6. Die Summe ist 20, der Mittelwert 4.
| Wert | Abweichung von 4 | Quadrierte Abweichung |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
| Summe | 0 | 8 |
Sind diese fünf Werte die vollständige betrachtete Population, beträgt die Varianz 8 ÷ 5 = 1,6 und die Standardabweichung ungefähr 1,2649.
Dienen sie als Stichprobe zur Schätzung der Streuung einer größeren Population, beträgt die Stichprobenvarianz 8 ÷ 4 = 2 und die Stichproben-Standardabweichung ungefähr 1,4142. Die Daten änderten sich nicht, sondern Zweck und Nenner.
Nenner vor Ergebnisvergleich festlegen
Tabellenkalkulationen unterscheiden häufig zwischen Stichproben- und Populationsstandardabweichung. Beide Tools können korrekt rechnen und trotzdem abweichen, weil sie andere Voreinstellungen verwenden.
Eine einzelne Beobachtung hat als vollständige Population die Standardabweichung null, liefert aber mit n − 1 keine definierte Stichprobenvarianz. Ein leerer Datensatz hat weder Mittelwert noch Standardabweichung.
Die n − 1-Anpassung macht die Stichprobenvarianz unter üblichen Annahmen unabhängiger, identisch verteilter Stichproben unverzerrt. Sie macht die Quadratwurzel nicht zu einem exakt unverzerrten Schätzer der Standardabweichung und behebt kein verzerrtes Stichprobendesign.
Die Zahl in ihrer ursprünglichen Einheit interpretieren
Werden Zeiten in Minuten gemessen, lautet auch die Einheit der Standardabweichung Minuten. Varianz wird in quadrierten Minuten angegeben und ist meist weniger anschaulich. Eine größere Standardabweichung bedeutet in dieser Zusammenfassung größere Streuung relativ zum Mittelwert; ob sie „groß“ ist, braucht Kontext. Fünf Sekunden können in einem Prozess relevant und in einem anderen unwichtig sein.
Die Standardabweichung allein zeigt weder Schiefe, Gruppen, Ausreißer noch Zeittrends. Prüfen Sie Daten oder eine geeignete Grafik: Zwei Datensätze können Mittelwert und Standardabweichung teilen und sehr unterschiedliche Formen haben.
Standardabweichung nicht mit Standardfehler verwechseln
Standardabweichung beschreibt Streuung zwischen Beobachtungen. Standardfehler beschreibt unter einem Modell die Stichprobenstreuung eines Schätzwerts, etwa des Stichprobenmittelwerts.
Bei unabhängigen Beobachtungen aus derselben Verteilung lautet die geschätzte Standardabweichung des Mittelwerts oft Stichproben-Standardabweichung ÷ √n. Mehr Beobachtungen können die Unsicherheit des Mittelwerts verringern, ohne die Variabilität einzelner Werte zu verändern.
Bezeichnen Sie Fehlerbalken nicht als Standardabweichung, wenn sie Standardfehler oder Konfidenzintervall zeigen. Ähnliche Grafiken können unterschiedliche Fragen beantworten.
Ausreißer und fehlende Daten beachten
Quadrieren verleiht großen Abweichungen erheblichen Einfluss. Ein Ausreißer kann die Standardabweichung daher stark verändern. Prüfen Sie seinen Ursprung, statt ihn nur wegen Unbequemlichkeit zu löschen. Messfehler, seltenes echtes Ereignis und eigene Population erfordern unterschiedliche Antworten.
Bei schiefen oder ausreißerreichen Daten ergänzen Median und Interquartilsabstand. Geben Sie an, ob fehlende Werte ausgeschlossen und Transformationen angewandt wurden. Bei einer endlichen Zahlenliste berichten Sie Anzahl und Mittelwert neben der Standardabweichung sowie den verwendeten Stichproben- oder Populationsnenner. Die Arithmetik entscheidet nicht, ob Beobachtungen repräsentativ oder unabhängig sind.
Häufige Fragen
Warum unterscheiden sich Stichproben- und Populationsstandardabweichung?
Die Populationsformel teilt durch N. Die Stichprobenvarianz teilt bei einer Schätzung der Population durch n − 1.
Kann die Standardabweichung negativ sein?
Nein. Sie ist die Wurzel einer nichtnegativen Varianz. Ein negatives Ergebnis weist auf Rechen- oder Zahlenprobleme hin.
Bedeutet eine kleine Standardabweichung, dass mein Schätzwert genau ist?
Nicht zwingend. Geringe Streuung schließt Verzerrung, Messfehler oder eine nicht repräsentative Stichprobe nicht aus. Genauigkeit und Variabilität sind verschiedene Dinge.
Quelle und Hinweise
Die Beispiele zeigen eine Rechenmethode; die Aussagekraft hängt von Definitionen, Daten und Annahmen ab.
Mit dem Rechner fortfahren
Halten Sie Zahlenwerte und die Information bereit, ob sie Stichprobe oder Population darstellen.