Der Mittelwert bestimmt die Lage, die Standardabweichung die Streuung
Eine Normalverteilung hat eine glockenförmige Dichte, die symmetrisch um ihren Mittelwert liegt. Mittelwert, Median und Modus sind gleich. Die Standardabweichung muss positiv sein und bestimmt, wie breit die Verteilung ist. NIST erläutert Dichte, kumulative Verteilung und Parameter.[1]
Die Höhe der Dichtekurve ist nicht die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Messwert. Bei einem stetigen Modell entspricht die Wahrscheinlichkeit der Fläche über einem Intervall; die Fläche unter der gesamten Kurve beträgt eins.
Reale Beobachtungen können gerundet, begrenzt, schief oder eine Mischung verschiedener Gruppen sein. Eine glockenförmige Zeichnung ist eine Modellannahme, kein Beleg für normalverteilte Daten.
Einen Wert in einen z-Wert umrechnen
Für Messwert x, Populationsmittelwert μ und Standardabweichung σ gilt: z = (x − μ) ÷ σ.
Ein positiver z-Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter. z = 2 bedeutet zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert – unabhängig von der ursprünglichen Maßeinheit.
Angenommen, eine Messgröße folgt einem Normalmodell mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15. Für den Wert 130 ist z = (130 − 100) ÷ 15 = 2. Nach diesem Modell liegen etwa 97,72 % der Werte bei höchstens 130 und 2,28 % darüber.
Die 68–95–99,7-Regel mit Bedacht verwenden
Die bekannte Regel beschreibt bei einer Normalverteilung die ungefähre Wahrscheinlichkeit innerhalb einer, zwei und drei Standardabweichungen um den Mittelwert.
| Intervall um den Mittelwert | Ungefähre Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| Mittelwert ± 1 Standardabweichung | 68,27 % |
| Mittelwert ± 2 Standardabweichungen | 95,45 % |
| Mittelwert ± 3 Standardabweichungen | 99,73 % |
Das sind zweiseitige zentrale Flächen. „Innerhalb von zwei Standardabweichungen“ ist nicht dasselbe wie „unter zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert“. Letzteres umfasst die gesamte untere Verteilungshälfte und beträgt ungefähr 97,72 %.
Übertragen Sie die Regel nicht automatisch auf Einkommen, Wartezeiten oder andere Daten, nur weil sich Mittelwert und Standardabweichung berechnen lassen. Jeder endliche Datensatz hat beschreibende Kennwerte, aber nicht jeder eine Normalverteilung.
Intervallwahrscheinlichkeit berechnen
Standardisieren Sie beide Grenzen und ziehen Sie dann die kumulativen Wahrscheinlichkeiten voneinander ab. Bei Mittelwert 100 und Standardabweichung 15 entspricht das Intervall von 85 bis 130 den z-Werten −1 und 2.
Die modellierte Wahrscheinlichkeit ist Φ(2) − Φ(−1), also ungefähr 0,97725 − 0,15866 = 0,81859 oder 81,86 %. Φ bezeichnet die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Kumulative Wahrscheinlichkeiten lassen sich einer Tabelle oder numerischen Näherung entnehmen. Sie beschreiben ein angegebenes Modell, keine beobachteten Häufigkeiten und keinen Beweis, dass eine Stichprobe zum Modell passt.
Einzelwerte und Stichprobenmittelwerte unterscheiden
Die Standardabweichung der Beobachtungen beschreibt deren Streuung. Der Standardfehler eines Stichprobenmittelwerts beschreibt unter den passenden Annahmen dessen Stichprobenvariabilität.
Bei unabhängigen Beobachtungen mit gemeinsamer endlicher Varianz wird der Standardfehler oft als σ ÷ √n modelliert; ist σ unbekannt, wird ein geeigneter Schätzwert verwendet. Teilen Sie nicht durch die Wurzel der Stichprobengröße, wenn es um die Streuung einzelner Beobachtungen geht.
Große Stichproben können den standardisierten Stichprobenmittelwert unter geeigneten Bedingungen näherungsweise normalverteilt machen. Dadurch werden die ursprünglichen Beobachtungen nicht normal und verzerrte Auswahl oder abhängige Messungen nicht korrigiert.
Modell prüfen, bevor Sie sich auf Randwahrscheinlichkeiten stützen
Prüfen Sie ein Histogramm, gegebenenfalls einen Normal-Quantil-Plot und die Art der Datenerhebung. Achten Sie auf Schiefe, Ausreißer, mehrere Populationen und Grenzen. Randwahrscheinlichkeiten reagieren besonders empfindlich auf eine ungeeignete Verteilungsannahme.
Bei technischen Toleranzen oder Risikoentscheidungen sollten Sie begründen, warum das Modell passt und wie seine Parameter geschätzt wurden. Eine kleine berechnete Wahrscheinlichkeit kann präzise wirken, obwohl sie hauptsächlich auf einer unbelegten Modellwahl beruht.
Häufig gestellte Fragen
Setzt ein z-Wert normalverteilte Daten voraus?
Die Standardisierung selbst nicht. Die Deutung eines z-Werts anhand von Normalwahrscheinlichkeiten setzt ein passendes Normalmodell voraus.
Liegen 95 % einer Normalverteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen?
Ungefähr. Die genaue zentrale Wahrscheinlichkeit innerhalb von zwei Standardabweichungen beträgt etwa 95,45 %; ein zentrales 95-%-Intervall umfasst ungefähr 1,96 Standardabweichungen.
Was gilt bei einer Standardabweichung von null?
Die Division zur Berechnung des z-Werts ist nicht definiert; eine nicht entartete Normalverteilung hat keine Standardabweichung von null. Prüfen Sie, ob alle Beobachtungen gleich sind oder eine Eingabe falsch ist.
Quellen und Berechnungshinweise
Die wichtigste Referenz ist unten verlinkt. Beispiele veranschaulichen eine Rechnung und garantieren kein Ergebnis; Aussagekraft hängt von Definitionen, Messungen und Annahmen ab.
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Normalverteilungsrechner
Halten Sie Mittelwert, Standardabweichung und das gewünschte Intervall bereit. Öffnen Sie anschließend den eigenständigen Rechner und berücksichtigen Sie die Annahmen und Grenzen aus diesem Leitfaden.